第31课时　相似三角形判定定理的证明(内文)-【教与学·学导练】2023-2024学年九年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 教与学 学导练 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版（内文） 第四章　图形的相似 第31课时　相似三角形判定定理的证明 ·上册· 2 目录 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 1. 如图S4－31－1，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　C　） 图S4－31－1 C （限时3分钟） 温故知新 A. ∠B＝∠ACD B. ∠ADC＝∠ACB C. ＝ D. AC2＝AD·AB 返回目录 2. 如图S4－31－2，网格中相似的两个三角形是（　D　） 图S4－31－2 D A. ①与④ B. ②与③ C. ①与⑤ D. ②与⑤ 返回目录 　　（1）两角分别 　相等　⁠的两个三角形相似；  　　（2）两边 　成比例且夹角　⁠相等的两个三角形相似； 　　（3）三边 　成比例　⁠的两个三角形相似. 相等　 成比例且夹角　 成比例　 知识重点 返回目录 3. 如图S4－31－3，已知在△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，则添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是（　D　） 图S4－31－3 D A. ∠CAB＝∠D B. ＝ C. AD∥BC D. ＝ 对点范例 返回目录 知识点1　两角对应相等判定三角形相似 【例1】（课本P102习题）已知：如图S4－31－4，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB.求证：AE2＝AD·AC. 课本母题 返回目录 图S4－31－4 思路点拨：根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ACB，即可解题. 返回目录 证明：∵BE平分∠CBD，∴∠DBE＝∠CBE. ∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB. ∵∠ABE＝∠ABD＋∠DBE，∠AEB＝∠C＋∠CBE， ∴∠ABD＝∠C. 又∵∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB. ∴AB∶AD＝AC∶AB，即AB2＝AD·AC. ∵AE＝AB，∴AE2＝AD·AC. 图S4－31－4 返回目录 4. 如图S4－31－5，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E. 图S4－31－5 母题变式 返回目录 （1）求证：CD2＝DE·AD； 证明：（1）∵CE⊥AD， ∴∠CED＝∠ACB＝90°. ∵∠CDE＝∠ADC， ∴△CDE∽△ADC. ∴CD∶AD＝DE∶CD. ∴CD2＝DE·AD. 图S4－31－5 返回目录 （2）求证：∠BED＝∠ABC. 证明：（2）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD. ∵CD2＝DE·AD， ∴BD2＝DE·AD.∴BD∶AD＝DE∶BD. 又∵∠BDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB. ∴∠BED＝∠ABC. 图S4－31－5 返回目录 知识点2　三边对应成比例判定三角形相似 【例2】（课本P102习题）已知：如图S4－31－6，＝＝.求证：AB＝AE. 课本母题 图S4－31－6 返回目录 思路点拨：根据三组对应边的比相等的两三角形相似可判断△ADE∽△CAB，从而∠AED＝∠B，再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论. 证明：∵＝＝， ∴△ADE∽△CAB. ∴∠AED＝∠B. ∴AB＝AE. 图S4－31－6 返回目录 5. 已知：如图S4－31－7，＝＝.求证： 图S4－31－7 （1）∠DAB＝∠EAC； 证明：（1）∵＝＝， ∴△ADE∽△ABC. ∴∠DAE＝∠BAC. ∴∠DAB＝∠EAC. 母题变式 返回目录 （2）DB·AC＝AB·EC. 证明：（2）在△ADB和△AEC中， ∵＝且∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC.∴＝. ∴DB·AC＝AB·EC. 图S4－31－7 返回目录 6. （课本P102习题－创新题）如图S4－31－8，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2 cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4 cm/s.如果P，Q两动点同时 运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 创新设计 图S4－31－8 返回目录 解：设经过t s时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2t cm，BP＝（8－2t） cm，BQ＝4t cm. ∵∠PBQ＝∠ABC， ∴①当＝时，△BPQ∽△BAC， 即＝.解得t＝2； 图S4－31－8 返回目录 ②当＝时，△BPQ∽△BCA， 即＝.解得t＝0.8. ∴经过2 s或0.8 s时，△QBP与△ABC相似. 图S4－31－8 返回目录 7. （创新变式）如图S4－31－9，在Rt△ABC中，∠