1.4.2 充要条件 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 学习目标 素 养 目 标 学 科 素 养 1.理解充要条件的意义.（重点） 2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点） 3.能对充要条件进行证明.（难点） 1、数学抽象 2、逻辑推理 p有充分的理由使q成立 (有p就有q) q不成立则p必然不成立 （没q就没p） 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 例子 若x=2，则x2=4.(真) 若两个三角形周长相等， 则这两个三角形全等.(假) “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 复习回顾 逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题形式的命题，“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 思考： 下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相 等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数 根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题； 我们称上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件。 概念引入 概念形成 概括地说，如果p  q , 那么p与 q互为充要条件. 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题, 即既有pq , 又有qp , 就记作 p  q. 此时, p既是q的充分条件 ,也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件， 简称为充要条件. 显然 , 如果p是q的充要条件 , 那么q也是p的充要条件. 概念应用 例3 下列命题中，哪些p是q的充要条件? (1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直平分； pq，但q p p不是q的充要条件 p是q的充分不必要条件 (2) p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； pq且qp，即pq p是q的充要条件 (3) p: xy>0，q:x>0，y>0； pq ，但qp p不是q的充要条件 p是q的必要不充分条件 (4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根， q:a+b+c=0(a≠0). pq且qp，即pq p是q的充要条件 思考 条件p与条件q之间有几种不同的逻辑关系？ ①若p q ，且qp ，则p是q的充分不必要条件； ②若p q ，且qp ，则p是q的必要不充分条件； ④若p q ，且qp ，则p是q的充要条件. ③若p q ，且qp ，则p是q的即不充分也不必要条件； 练习：课本第22页练习1,2；习题1.4复习巩固2. 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要条件呢？ 提示：若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则B⊆A. 思考： （1）若p是q的充分必要条件，则集合A，B的关系是什么？ （2）若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？ （3）若p是q的必要不充分条件，则集合A，B的关系是什么？ （4）若p是q的即不充分也不必要条件，则集合A，B的关系是什么？ 概念的深化 从集合角度看充分、必要条件 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 A B BA A＝B AB，BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 概念的深化 巩固练习： 2．x>2的一个必要而不充分条件是_____________。 x>1 1. 探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行 四边形” 的充要条件吗？ 可以发现，“四边形的两组对角分别相等” “四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的两条对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充