素养拓展22 数列与不等式（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展22 数列与不等式（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1.常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 2.数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 二、题型精讲精练 【典例1】（2021·天津·统考高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【典例2】（2020·全国·统考高考真题）设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 【题型训练-刷模拟】 1.数列不等式 一、单选题 1．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知数列满足，数列的前n项和为，若对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南驻马店·统考二模）设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（   ） A． B． C． D．8 4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．16 C． D．32 5．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 6．（2023春·江西九江·高二校考期中）数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（2023·上海·高三专题练习）已知数列满足，，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 9．（2023·江西吉安·统考一模）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．数列不可能为等差数列 B．对任意正数t，是递增数列 C．若，则 D．若，数列的前n项和为，则 10．（2023·四川遂宁·校考模拟预测）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2022春·北京·高二清华附中校考期中）对于数列，若，都有（t为常数）成立，则称数列具有性质．数列的通项公式为，且具有性质