1.3正方形的性质与判定（讲+练，六大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（北师大版）

1.3正方形的性质与判定 学习目标：1.理解正方形的概念，了解它与菱形、正方形、平行四边形之间的关系. 2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理，体会抽象、推理等数学思想. 3.学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法. 重点：探索并证明正方形的性质定理和判定定理，体会数学思想. 难点：学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法. 知识点一 正方形的定义 1. 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 . 【注意】正方在平行四边形的基础上必须满足两个条件：(1) 一组邻边相等.(2) 一个角是直角. 正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形. 即学即练（2023春·山东滨州·八年级统考期末）若四边形是____甲____，则四边形一定是____乙____，甲、乙两空可以填（　　） A．正方形，平行四边形 B．菱形，矩形 C．平行四边形，矩形 D．菱形，正方形 知识点二 正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等 数学表达式：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠ DAB= ∠ DCB= ∠ ADC=∠ ABC =90° AB=BC=CD=AD 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分 数学表达式：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AC=BD AC⊥BD 3.正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形 【注意】正方形有四条对称轴；对称中心是两条对角线的交点. 4.正方形的面积：边长的平方或对角线长平方的一半. 特别提醒： 正方形的特殊性质： 1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形. 2.周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 即学即练1. (1)（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，点 为正方形 对角线 上一点，如果 ，那么 的度数是（   ）    A． B． C． D． (2)（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（    ）    A．1 B． C． D．2 即学即练2.（2023·浙江杭州·校联考一模）如图，在正方形中，是边上的点，的垂直平分线交，与点F，G，．    (1)若正方形边长为4，求的长； (2)求的值． 知识点三 正方形的判定 1.从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形. 2.从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 3.从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形. 4.从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 判定正方形的常见思路: 先确定待证四边形是一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定它是正方形. 即学即练1 (1)（2019秋·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考阶段练习）下列说法错误的是（  ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．四个角都相等的四边形是矩形 (2)（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考阶段练习）如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是(   ) A． B． C． D． 即学即练2（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：如图，在中，，平分，，，垂足分别为E、F，求证：四边形是正方形．    知识点四 中点四边形 中点四边形的定义 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形. 特别提醒： 中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形)；两条对角线相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形). 即学即练1 (1)（2022秋·九年级课时练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． (2)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，若对角线的长都是，则四边形的周长是 ． 即学即练2 （2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3