专题04 二次根式的乘除（知识串讲+9大考点）-【一遍过】2023-2024学年八年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

专题04 二次根式的乘除 考点类型 知识一遍过 （一）二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: 【注意】 ①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立； ②同样成立； ③乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0） （二）二次根式除法法则 二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 ②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： （a≥0，b＞0） （三）最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：、； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 ③分母有理化两种形式：、 考点一遍过 考点1：二次根式乘法 典例1：（2023春·山东东营·八年级统考期末）计算的结果是 ． 【变式1】（2023春·上海·七年级统考期中）计算： ． 【变式2】（2023春·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）计算： ． 【变式3】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）计算的结果是 考点2：二次根式除法 典例2：（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算： ． 【变式1】（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）计算的结果为 ． 【变式2】（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期中）计算：= ． 【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）计算的结果是 ． 考点3：二次根式乘除——混合运算 典例3：（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）计算：． 【变式1】（2023春·北京东城·八年级北京市第二中学分校校联考期末）计算： 【变式2】（2023春·上海松江·七年级统考期末）计算： 【变式3】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）计算： 考点4：最简二次根式的判断 典例4：（2023·吉林松原·校联考二模）在式子中，属于最简二次根式的是 ． 【变式1】（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）下列是最简二次根式的有 ． ①；②；③；④． 【变式2】（2023春·河南新乡·八年级统考期中）如果是最简二次根式，则的值可能是 ．（填一个正确的即可） 【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）在，，，，中，最简二次根式有 个． 考点5：最简二次根式化简 典例5：（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）二次根式化成最简二次根式是 ． 【变式1】（2022春·八年级单元测试）将化成最简二次根式的是 ． 【变式2】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）一个长方形的长和面积分别是和，则这个长方形的宽为 ． 【变式3】（2021春·广东东莞·八年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）把化为最简二次根式，结果是 ． 考点6：最简二次根式——求字母 典例6：（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若为整数，则x的最小正整数值为 ． 【变式1】（2021春·浙江·八年级期中）若两最简二次根式与的被开方数相同，则 ． 【变式2】（2023春·山东济宁·八年级校考阶段练习）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 【变式3】（2022秋·八年级单元测试）若是最简二次根式，则 ； ． 考点7：分母有理化 典例7：（2023春·江苏南京·八年级校联考期末）计算：＝ ；＝ ． 【变式1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如果与的值互为相反数，那么的值为 ． 【变式2】（2023春·新疆和田·八年级统考期中）分母有理化： ． 【变式3】（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）观察下列分母有理 ，…… 从计算结果中找出规律 ． 考点8：分母有理化的应用 典例8：（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为 ； （2）比较大小： （选填“>”“<”或“=”）； （3）计算： ． 【变式1】（2022春·湖北孝感·八年级统考期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是