福建省福州第四中学2023-2024学年高二上学期暑假检测数学试卷

福州第四中学新高二暑假检测试卷（数学） 命题: 袁申 审核 祁东 2023.8.5 建议完成时间：1小时45分钟 本考试用于对同学们暑假期间的学习与预习成果进行检验，考察范围：必修一至选择性必修一。 满分100分，共19道题，其中单项选择题6题，多项选择题4题，填空题4题，大题5题。 1. 单项选择题（每题3分） 1. 复数z=(3+4i)(5+12i)，则=( ) A.60 B.65 C.66 D.70 2. 函数f(x)=的最大值为( ) A. B. C.14-2 D. 3. 分别为椭圆:+=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，点P为上的一个动点，则的取值范围为( ) A. [2b²-a²,b²] B.[a²-b²,2b²] C.[b²,a²] D.[0,2b²] 4. 若实数x,y满足x²+xy+y²=1，则(x+y)的取值范围为( ) A.[-,B.[-, C.[- D.[- 5.过抛物线C:y²=4x的焦点F的直线交C于A、B两点，则(²+)的最小值为( ) A.3 B.5 C.7 D.8 6.如图,矩形ABCD长为2a,宽为2b,如图所示取出各边中点，并以这几段线段为半长轴或半短轴作如图的四个四分之一的椭圆,如图的灰色矩形各顶点均在椭圆上,且保持各边与矩形ABCD各边平行,则这个灰色矩形面积的最大值是( ) A.(6-4)ab B.ab C. ab D.(3-)ab (第6题图) 2． 多项选择题（每题4分） 7. 边长为a的正方体ABCD-A’B’C’D’中，点P为平面A’B’C’D’上的一个动点，则下列说法正确的是( ) A.三棱锥P-ABCD的体积是定值 B.若PA²+PB²=a²，则点P的轨迹长度为 C.若∠PAB=60°，则点P的轨迹是椭圆的一部分 D.若为定值，则点P的轨迹是圆的一部分 8. 在三角形ABC中，下列说法正确的是( ) A.若C=3B，2a=c，则A= B.a²+b²+c²=abcosC+bccosA+accosB C.tanAtanBtanC恒大于0 D.若c=1，C=，则三角形ABC垂心的轨迹长度为2 9. 关于平面直角坐标系内两圆:(x-a)²+(y-b)²=、:(x-c)²+(y-d)²=，下列说法正确的是( ) A.若将两圆方程相减，得到的方程表示的是一条直线 B.在选项A的条件下，若两圆相交，则该直线是两圆的公共弦 C.在选项A的条件下，若两圆相切，则该直线是两圆的公切线，且过两圆的切点 D.在选项A的条件下，过平面内任一点P作两直线，一条交于A、B两点，另一条交于C、D两点， 则 10. 如图，平面正六边形ABCDEF的边长为R，以其中心O为圆心作一圆，过六个顶点同时针方向作六条切线，围出一个六边形UVWXYZ，则下列说法正确的是( ) A.六边形UVWXYZ是正六边形 B.设圆O的半径为r，则往六边形ABCDEF内投掷硬币，落在六边形UVWXYZ内的概率是 C.对于六边形UVWXYZ边上一动点P（图中未标出），为定值 D.对于圆O上一动点Q（图中未标出），为定值 （第10题图↓） 2023新高二 登高致远，惠泽天下 学科网（北京）股份有限公司 3． 填空题（每题4分） 11. 写出圆:(x-3)²+y²=81与圆:x²+(y-4)²=16的所有公切线方程以及两圆的位置关系 12. 若函数f(x)=(m²+2m+1)是幂函数，则该函数图像上任意一点到原点距离的最小值为 13. 三角形ABC中，c=1，C=，则()的最大值为 14. 平面向量 4． 解答题（每题10分） 15. 如图，P、Q分别是正方形ABCD的AB与AD上的两个动点，连接PQ，作QR⊥PQ交CD于R， 作RS⊥QR交BC于S，若以正方形中心O为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立平面直角坐标系，求PR与SQ交点T的轨迹方程（不要求写出取值范围）