第2章 第4节 指数与指数函数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四节　指数与指数函数 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．根式 (1)根式的概念 如果xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)a的n次方根的表示 xn＝a⇒ 2．有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂的性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q) (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q) (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q) 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1 在R上为增函数 在R上为减函数 Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版必修①P109·T1改编)下列运算中正确的是(　 ) A.＝2－π B．a＝ C.8＝ D.(x3－)3＋＝x9 解析：选C　对于A,2－π<0，所以 ＝π－2，错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·＝－，错误；对于C，8＝88＝，正确；对于D，(x3－)3＋＝x9－2＝x7，错误． 2．(人教A版必修①P115·T2改编)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1,2)，那么这个函数也必定经过点(　 ) A. B． C．(1,2) D. 答案：D 3．(苏教版必修①P165·T5改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为(　 ) A．2 B．3 C．4 D. 答案：A 4．(北师大版必修①P92·T5改编)函数y＝2x＋1的图象是(　 ) 答案：A 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(化简(a∈R)时忽略n的范围)计算 ＋ ＝________. 答案：2 2．(对指数函数的概念理解不透彻)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________. 答案：2 3．(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________. 答案：2或 Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．掌握指数函数图象的3个特点 (1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． (3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 2．灵活应用化简指数幂常用的技巧 (1)－p＝p(ab≠0)； 3．谨防1个失误点 讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． 考法一　指数幂的化简与求值(自主练通) 1．(多选)下列运算正确的是(　 ) A.7＝m7·n(m>0，n>0) B.＝＝ C.＝(x＋y)(x>0，y>0) D.＝ 2．某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：h)与储藏的温度t(单位：℃)满足的函数关系为T＝ekt＋b(k，b为常数，其中e＝2.718 28…，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h，在10 ℃时的有效保存时间是120 h，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为(　 ) A．15 h B．30 h C．40 h D.60 h 解析：选C　由题意知1 080＝eb,120＝e10k＋b＝e10k·eb，所以e10k＝(e5k)2＝＝，所以e5k＝，所以e15k＝，所以e15k＋b＝e15k·eb＝×1 080＝40. 3．计算：27－－2＋256－3－1＋(－1)0＝________. 解析：27－－2＋256－3－1＋(－1)0＝(33)－(－7)2＋(44)－＋1＝－49＋64－＋1＝16. 答案：16 4．已知a2x＝5，则＝________. 解析：＝＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋＝. 答案： 5．计算：·(其中a>0，b>0)＝________. 答案： [一“点”就过]