第2章 第7节 函数与方程（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第七节　函数与方程 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无 零点个数 _2_ _1_ _0_ Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版必修①P155·T2改编)函数y＝f(x)的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　 ) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 A.2 B．3 C．4 D.5 解析：选B　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点． 2．(人教A版必修①P143·例1改编)函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　 ) A．－2 B．－ C. D.2 解析：选B　由题意知，f(1)＝＋a＝0，解得a＝－. 3．(苏教版必修①P251·T5改编)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　 ) A．2 B．－2,0 C. D.0 解析：选D　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)．综上，函数的零点为0. 4．(苏教版必修①P235·T9改编)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________． 答案： 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽略二次项系数为零)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　 ) A．－ B．0 C. D.0或－ 解析：选D　当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上有a＝0或－. 2．(忽略零点存在定理的条件)设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根所在区间为(　 ) A．(2,2.25) B．(2.25,2.5) C．(2.5,2.75) D.(2.75,3) 解析：选C　因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5,2.75)． Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．谨记3个相关性质 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．谨防两个易错易混 (1)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定． (2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论． 考法一　判断函数零点所在的区间(自主练通) 1．(2023·重庆南开中学高三模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋x2－6，则下列区间中含f(x)零点的是(　 ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D.(3,4) 解析：选C　由题意知f(0)＝ln 1－6＝－6<0，f(1)＝ln 2－5＝ln <0，f(2)＝ln 3－2＝ln <0，f(3)＝ln 4＋3>0，f(4)＝ln 5＋10>0.由零点存在定理可知f(x)在区间(2,3)一定有零点． 2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　 ) A．(a，b)和(b，c)