第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 假 真 假 真 假 假 真 假 真 假 假 假 (3)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀 ①p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反． ②“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”． 2．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 3．全称(特称)命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题． 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 1．命题“方程x2－1＝0的解是x＝±1”中使用逻辑联结词的情况是(　 ) A．没有使用逻辑联结词 B．使用了逻辑联结词“或” C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非” 答案：B　 2．若命题“p∧q”为假，且“綈p”为假，则(　 ) A．“p∨q”为假 B．q假 C．q真 D．不能判断q的真假 答案：B 3．命题“∃x<0，使x2－3x＋1≥0”的否定是(　 ) A．∃x<0，使x2－3x＋1<0 B．∃x≥0，使x2－3x＋1<0 C．∀x<0，使x2－3x＋1<0 D．∀x≥0，使x2－3x＋1<0 答案：C 4．下列命题中的假命题是(　 ) A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0 解析：选C　当x0＝10时，lg x0＝1，故A是真命题；当x0＝0时，sin x0＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题． 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　全称命题与特称命题 [题点全训] 1．已知p：∀x>0，x－≥0，则綈p为(　 ) A．∃x0>0，x0－<0 B．∃x0≤0，x0－<0 C．∀x>0，x－<0 D．∀x0≤0，x－≥0 解析：选A　因为p：∀x>0，x－≥0，是全称命题，所以綈p为：∃x0>0，x0－<0，故选A. 2．已知命题p：∃x∈R，cos x>1，则(　 ) A．綈p：∃x∈R，cos x≤1 B．綈p：∀x∈R，cos x≤1 C．綈p：∃x∈R，cos x<1 D．綈p：∀x∈R，cos x<1 解析：选B　根据含有一个量词的否定，可知命题p：∃x∈R，cos x>1的否定是綈p：∀x∈R，cos x≤1. 3．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　 ) A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 解析：选B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B. 4．(2023·重庆模拟)下列命题为真命题的是(　 ) A．∀x∈R，x2－|x|＋1≤0 B．∀x∈R，－1≤≤1 C．∃x0∈R，(ln x0)2≤0 D．∃x0∈R，sin x0＝3 解析：选C　对于A，因为x2－|x|＋1＝2＋>0恒成立，所以∀x∈R，x2－|x|＋1≤0是假命题；对于B，当x＝时，＝2，所以∀x∈R，－1≤≤1是假命题；对于C，当x＝1时，ln x＝0，所以∃x0∈R，(ln x0)2≤0是真命题；对于D，因为－1≤sin x≤1，所以∃x0∈R，sin x0＝3是假命题． [一“点”就过] 1．全称命题与特称命题真假判断的方法 要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可． 2．全称命题与特称命题的进行否定的步骤 改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写