期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 -【备战期中必刷真题】2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考重庆专用）

期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 备考秘籍 1. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 2. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 （2） 线面垂直的判定定理 一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 （4） 面面垂直的判定定理 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） （5） 面面垂直的性质定理 两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 3. 异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 5. 二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 真题训练 一、解答题 1．（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆市凤鸣山中学校考期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求实数的值． 2．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）四棱锥中，底面，四边形是正方形，. (1)求证：平面平面； (2)设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 3．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）如图，平面ABCD，，，，，. (1)求证：平面平面ADE； (2)若线段CF的长为1，求二面角的余弦值. 4．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）如图，斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点，且． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2022秋·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于． (1)求证：； (2)当为中点时，求点到平面的距离； 6．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆市铁路中学校校考期中）已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上． (1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面EMC； (2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由． 7．（2022秋·重庆渝中·高二重庆市求精中学校校考期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M，N分别为棱PB，DC的中点. (1)求证：平面PCD； (2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值. 8．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上. (1)求证：∥平面； (2)求二面角的余弦值； 9．（2022秋·重庆江津·高二校考期中）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点． (1)求证：平面PCD； (2)求PD与平面PMC所成角的正弦值． 10．（2021秋·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，. (1)求证：∥平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 11．（2021秋·重庆云阳·高二重庆市中山外国语学校校考期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点．    (1)直线与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离. 12．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）如图，已知长方形中，，，为的中点.将沿折起，使得平面平面. （1）求证：； （2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为. 13．（2022秋·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）已知为等腰直角三角形，，将沿底边上的高线折起到位置，使，如图所示，分别取的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）判断在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由． 14．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）如