13.3.2 等边三角形（第1课时）教学设计 2022--2023学年人教版数学八年级上册

《13.3.2　等边三角形》教学设计 第1课时　等边三角形的性质与判定 教材分析 本课的主要内容是引导学生探究等边三角形的性质定理和判定定理以及定理的推理证明和初步应用．本课是在学生学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识后学习的，在实际生活中总能找到等边三角形的影子，它不仅使我们的生活变得丰富多彩，让我们在生活中体验到特殊的对称美，而且为我们的数学研究提供了重要素材．这一课的内容不仅是等腰三角形的延续，而且为今后证明角相等、线段相等提供了重要依据，在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用． 备课素材 一、导入新知 【情景导入】 在一次探究活动中，老师给同学们出了一道题目：“如果等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形的三边有什么关系？” 小明假设底角为60°，得出了三个角都是60°；小亮假设顶角为60°，也得出了三个角都是60°，根据“等角对等边”，最后得出结论：三边都相等． 老师告诉他们“这种三条边都相等的三角形叫做等边三角形”．小明、小亮也发表了自己的看法，小明认为“三条边都相等的三角形是等边三角形，而不是等腰三角形”；小亮认为“等边三角形也是等腰三角形，只是比一般的等腰三角形特殊而已”．小明、小亮谁的看法有道理呢？ 【说明与建议】　说明：通过问题情境引入本节课的课题，增强学生的学习兴趣．建议：教师引导学生既动手又动脑，自主探究发现等边三角形的边角关系，注重引导分类讨论，让学生经历观察——实践——猜想——证明的思维过程． 二、命题热点 命题角度1　利用等边三角形的性质与判定进行简单的计算或证明 1．如图，AB＝AC＝8 cm，DB＝DC.若∠ABC＝60°，则BE＝4cm. 2．已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为(3，3)． 命题角度2　与等边三角形有关的变式拓展型问题 3．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于G，H点，连接GH. (1)请说出AD＝BE的理由； (2)试说出△BCH≌△ACG的理由； (3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 解：(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴AC＝BC，EC＝DC， ∠ACB＝∠ECD＝60°. ∴∠ACD＝∠ECB. ∴△ACD≌△BCE(SAS)． ∴AD＝BE. (2)∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBH＝∠CAG. ∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上， ∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°. 又∵AC＝BC， ∴△BCH≌△ACG(ASA)． (3)△CGH是等边三角形，理由如下： ∵△ACG≌△BCH， ∴CG＝CH(全等三角形的对应边相等)． 又∵∠ACG＝60°， ∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形)． 4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. (1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形； (2)点M是线段CD上的一点(不与点C，D重合)，以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系； 解：(1)证明 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°，BC＝AB. ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°. ∴DA＝DB. ∵DE⊥AB于点E. ∴AE＝BE＝AB. ∴BC＝BE. ∴△EBC是等边三角形． (2)结论：AD＝DG＋DM. 证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， ∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD. 又∵DM＝DW， ∴△WDM是等边三角形． ∴MW＝DM. 在△WGM和△DBM中， ∴△WGM≌△DBM(ASA)． ∴BD＝WG＝DG＋DM. ∴AD＝DG＋DM. 命题角度3　与等边三角形有关的探索规律型问题 5．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′(如图①)；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是400． 6．如图，在平面直角坐标系中，∠MOA1＝30°，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1都是等边三角形，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn＋1在OM上，A1B2∥A2B3∥A3B4，…，AnBn＋1∥y轴