先生解惑-【追梦之旅·大先生】2023-2024学年九年级上册初三数学同步训练方案（人教版）

一元二次方程　 第二十一章　 一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 知识点 一元二次方程的定义及一般形式 定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做 一元二次方程 一般形式 一元二次方程的一般形式是 ax2 +bx+ c = 0( a≠ 0),其中 ax2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一 次项,b 是一次项系数;c 是常数项 知识拓展 (1)一元二次方程必须具备三个条件:①方程的两边都是 整式;②方程中只含有一个未知数;③未知数的最高 次数是 2. 这三个条件必须同时具备,缺一不可. (2)“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都必须 是整式,而不是整理合并之后等号两边是整式,例如: x2 + 1 x = 5+ 1 x ,不是一元二次方程. (3)“未知数的最高次数是 2”是针对整理合并后的方程 而言的. 例如:(x+2) ( x+3) = x2 -4,整理合并之后得 到方程 5x+10 = 0,该方程中未知数的次数是 1,故原方 程不是一元二次方程. 知识点 一元二次方程的根 概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一 元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根 判断一个数是 不是一元二次 方程的根 将此数代入这个一元二次方程的左右两边, 看是否相等,若相等,就是这个方程的根;若 不相等,就不是这个方程的根 1 (1)“a≠0”是一元二次方程一 般形式的重要组成部分,不 可丢掉. 如果明确指出方程 ax2 +bx+c= 0 是关于 x 的一 元二次方程,那么就隐含了 a≠0 这一重要条件;若方 程 ax2 +bx+c= 0 未指明 a≠ 0,则它不一定是一元二次 方程. (2)若一元二次方程的二次项 系数含有字母参数,在求参 数时,要注意不能忽略隐含 条件“二次项系数不为 0”. (3)一元二次方程的项及系数 是针对一元二次方程为一 般形式而言的,确定项或项 的系数时,要包含它前面的 符号. 代入检验法 把给出的数代入方程,若能使 方程左右两边相等,则这个数 就是方程的根;否则不是,此方 法称为代入检验法. 知识点 列一元二次方程 一元二次方程的概念的应用 例 1:若方程 ax2 +2x-1 = 2x2 是关于 x 的一元二次方程,则 a 的取值范围是 　 　 　 　 . 【解析】ax2 +2x-1 = 2x2,(a-2)x2 +2x-1 = 0,∵ 关于 x 的方程 ax2 +2x-1 = 2x2 是一元二次方程,∴ a -2≠0,即 a≠2. 答案:a≠2 一元二次方程根的应用 例 2:若 a 是方程 x2 +x-2 022 = 0 的一个实数根,求 2a2 +2a +1 的值. 解:∵ a 是方程 x2 +x-2 022 = 0 的一个实数根, ∴ a2 +a-2 022 = 0,∴ a2 +a= 2 022. ∴ 2a2 +2a+1 = 2(a2 +a) +1 = 2×2 022+1 = 4 045. 一元二次方程的概念的应用 变式 1:若关于 x 的方程(m+1)x |m | +1 +x-3 = 0 是一元二次 方程,求 m 的值. 一元二次方程根的应用 变式 2:若 a 是方程 x2 -2 021x+1 = 0 的一个根,求代数式 a2 -2 022a+ a 2 +1 2 021 的值. 2 忽略一元二次方程二次项系数 不为 0 致错;未整理合并致错. 整体代入法求代数式的值 已知含字母的方程的根求代数 式的值时,如果所求代数式中 涉及的字母的值不能直接求 出,则常用整体代入法解答,即 将所求代数式或其中一部分看 成一个整体,通常这部分是已 知条件或者可利用已知条件求 出的部分. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 一元二次方程　 21. 2　 解一元二次方程 知识点 用直接降次法解一元二次方程 直接降次法 依据平方根的意义直接将一元二次方程“降 次”转化为一元一次方程 重点解读 (1)依据:平方根的意义 (2)步骤:①将方程转化为 x2 = p(或( x+n) 2 = p)的形式;②分三种情况降次求解:( i)当 p >0 时,x1 = - p ,x2 = p (或 x1 = -n- p ,x2 = -n+ p );( ii)当 p = 0 时,x1 = x2 = 0(或 x1 = x2 = -n);(