拓展04 全等三角形提高证明题含辅助线（六种类型）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

拓展04 全等三角形提高证明题含辅助线（六种类型） 【类型一】利用角平分线构造全等 1．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E，F分别为AC，AB上的点，且∠AED＋∠AFD＝180°． （1）求证：∠AFD＝∠CED； （2）求证：DE＝DF． 2．如图，在中，，是的角平分线交于，过作于点，点在上，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求线段的长， 3．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 4．已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足． 求证：（）． （）． 【类型二】倍长中线 5．如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE． 6．如图，已知中，点是边长的中点，过作的角平分线的平行线交于，交的延长线于，求证：（1）.（2）. 7．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC． （1）如图1，点D在线段AM上，且DM＝CM．求证：△BDM≌△ACM； （2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．    8．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 【类型三】截长补短 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD． 10．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    11．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 12．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 【类型四】直接连接 13．如图，在中，，，点为中点，过点作，分别交，延长线于点、，求证：． 14．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由． 15．如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于点G．求证：BF＝CG． 16．如图，在中，，，平分交于点，过作AE⊥CD交延长线于点，交延长线于F点，取中点，连接，过作交延长线于， （1）求证：； （2）求证：. 【类型五】延长交于一点 17．如图，中，平分，过点作于点，点是的中点，连接，若，，求的长．    18．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分线交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AD=BE． 19．如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：． 20．如图，在中，，，点为中点，交于点，交于点．求证：    (1)； (2)． 【类型六】半角模型 21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°． （1）求证：AD为∠BDC的平分线； （2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______． 22．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 23．问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸： (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD