12.3 角平分线的性质（知识+题型 重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

12.3 角平分线的性质 （重难点） 【知识点一、 角的平分线及其性质】 1．尺规作角平分线 尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB．求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求． 2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【知识点二、角平分线的判定】 1．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 定理的几何表述：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE． ∴点P 在∠AOB的平分线上． 2．三角形的内角平分线 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等． 已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等． 考点1：利用角平分线性质求距离 例1．如图，在中，，若，，平分，则点到的距离等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练1-1】如图，点E为平分线上一点，，的面积为15，则点E到直线的距离为（     ）      A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1-2】如图，OC是的平分线，于点D，，则点P到的距离是（    ）    A．1 B．2 C．4 D．都不对 【变式训练1-3】如图，在中，，是的角平分线．若，则点D到的距离是（    ）    A．2 B．4 C．3 D．6 考点2：利用角平分线性质求周长 例2．如图所示，中，，，平分，交于D，于E．，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】．如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，在中，，，，，若BD平分交于点D，过D作于点E，则的周长为（　　）． A．8 B．10 C．12 D．14 【变式训练2-3】如图，在 中，， 平分 ， 于，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 考点3：利用角平分线性质求面积 例3．在中，是的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（    ） A．3 B．5 C．9 D．12 【变式训练3-1】如图，在中，CD是AB边上的高，BE平分，交CD于点E，已知，，，则的面积等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练3-2】如图，是的角平分线，于，，分别是边，上的点，，若和的面积分别为和，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】如图，在四边形中，，，，平分，则的面积是（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 考点4：判定结论是否正确 例4．如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练4-1】如图，，AD、BD、CD分别平分的、、，以下结论：①；②；③；④BD分；⑤。其中误的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练4-2】如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（       ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式训练4-3】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE;其中正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 考点5：尺规作图 例5．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． 【变式训练5-1】已知，如图，． (1)用尺规作的一条角平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）； (2)若，，则_______° 【变式训练5-2】如图，已知利用直尺和圆规，根据要求作图（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明），并解决后面的问题． (1)作的角平分线 (2)作 交的延长线于点 (3)图中线段与线段相等吗？证明你的结论． 【变式训练5-3】如图，点D在的边上，且． ． (1)作的平分线，交于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论． 考点6：利用角平分线性质证全等 例6．如图，已知平分，于E，于F，且．求证：．    【变式