1.3.2 空间向量运算的坐标表示课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版2019选修第一册 第 1 章空间向量与立体几何 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养； 2.掌握空间向量运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养； 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，培养逻辑推理的核心素养； 4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题，强化数学运算和逻辑推理的核心素养 01复习导入 复习导入 平面向量运算的坐标表示 设=()， () (-) (,) += -= λ = = cos == 夹角公式 //=0； =0 特别地 思考1：空间向量的坐标表达又是怎么的呢？ 下面我们通过类比法来探究。 02空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3） a—b=（a1—b1,a2—b2,a3—b3） λa=（λa1,λa2,λa3）,λ∈R ab=（a1b1,a2b2,a3b3） 空间向量的坐标运算 思考2:如何证明空间向量数量积运算的坐标表 设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则 a=a1i+a2 j+a3k,b=b1i+b2 j+b3k ∴ab=（a1i+a2 j+a3k）（b1i+b2 j+b3k） ∵ii=j j=k k=1 ij=j k=k i=0 ∴ab=（a1b1,a2b2,a3b3） 思考3:其他运算的坐标表示怎样证明呢？ 请同学们自己完成。 空间向量的坐标运算 思考4:空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？ 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致； 如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 减去起点坐标. 空间向量的坐标运算 思考5:类似于平面向量运算的坐标表示，我们还能得到哪些公式？ 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 空间向量的坐标运算 空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 03空间向量的坐标运算应用 空间向量的坐标运算应用 1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,a·b 3.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=　　,若a⊥b,则 λ=　　　　 空间向量的坐标运算应用 2.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=　　　　　 3m-n=　　　　　 ,(2m)·(-3n)=　　　　　.  (-1,-1,1) (5,-11,19) 168 解:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19), (2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168. 4 空间向量的坐标运算应用 3 空间向量的坐标运算应用 (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 空间向量的坐标运算应用 (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). ∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0, 空间向量的坐标运算应用 向量平行与垂直问题主要题型 (1)平行与垂直的判断; (2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用. 解题时要注意: ①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程; ②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的. 空间向量的坐标运算应用 解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则 空间向量的坐标运算应用 （2） （1）证明： (3) 04课堂小结 课堂小结 1.空间向量的坐标运算； 2.坐标运算的应用； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝. 则P1P2＝||＝_____________________________. - 解:若a∥b,则有,解得λ=4. 若a⊥b,则a·b=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=-. 解析:|a|==3 a与b夹角的余弦值cos<a,b>=. 4.已知a=(-,2,),b=(3,6,0),则|a|=　　　　　,a与b夹角的余弦值等于　　　　　.  解: