1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版2019选修第一册 第 1 章空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 学习目标 1.掌握空间向量的夹角的概念． 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律． 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 01复习回顾 复习回顾 （1） 平面向量的夹角： A O B B 注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的 (2)平面向量的数量积的定义： 已知两个非零向量, ，则|| || ，叫做向量, 的数量积，记作 复习回顾：平面向量的数量积 即 || || 并规定0 02空间向量的夹角 空间向量的夹角 (1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ． (2)范围：〈，〉∈ . 特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线； 当〈，〉＝π时，两向量， ， 所以若∥，则〈，〉＝0或π； 当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 . ∠AOB 〈〉 [0，π] 0 反向共线 垂直 ⊥ O A B O A B O A B 03空间向量的数量积 空间中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·. 空间向量的数量积 注意：.两个向量的数量积是数量,而不是向量 即 |||| （1）空间向量数量积的定义 空间向量的数量积 ①(λ)·＝ ； ②交换律：·＝ ； ③分配律：·(＋)＝ . λ(·) · ·＋· (2)运算律 注意：向量的数量积不满足结合律 （3）性质 ①⊥⇔·＝0;　 ②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2; ③ 零向量与任意向量的数量积为0，即·＝0; ④ |·|≤||·||. ⑤cos〈，〉= 空间向量的数量积 证明两个向量垂直 求模长 夹角公式 04投影向量 思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。 类似地，向量在向量 上的投影有什么意义？ 向量 向向量的投影呢？向量 向向量 的投影呢？ 投影向量 投影向量 内， ，。 05空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 1.下列命题中，假命题是(　　) A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. D 解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确. 2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A. a＝b B. a＋b为实数0 C. a与b方向相同 D. |a|＝3 空间向量的数量积 D 3.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___. 解析　由a⊥b，得a·b＝0， ∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， ∴2k－12＝0，∴k＝6. 空间向量的数量积 6 4.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)；(3) ·. (1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝， 所以＝. (2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ . (3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－. 空间向量的数量积 数量积运算 空间向量的数量积 在几何体中求空间向量的数量积： 首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； 最后利用数量积的定义求解即可． 注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角． 方法总结 数量积运算 空间向量的数量积 5.已知正四面体OABC的棱长为1.求： (1)·；(2)(＋)·(＋)． (1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(-＋－)＝()·(－2) ＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1. 数量积运算 6.如图，在直三棱柱AB