13.4 课题学习 最短路径问题(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年八年级上册数学同步教案(人教版)

鱼学科网书城四 品牌书店·知名救辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 13.4 课题学习最短路径问题 课题 最短路径问题 课型 新授课 教学内容 教材第85-87页的内容 1.能够求解最短路径问题， 教学目标 2.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之问线段最短和 垂线段最短的性质. 教学重难 教学重点：运用所学知识解决最短路径问题. 点 教学难点：选择合适的方法解决问题。 教学过程 备注 1.回顾旧知，引入新课 回顾旧知，为讲解新 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连 知识做准备.以学生 接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 学过的知识为基础 引入课题，激发学生 问题，我们称它们为最短路经问题， 的学习兴趣。 如图，A,B在直线I的两侧，在I上求一点C,使得CA+CB 最小. A B 教师请学生回答上述问题，并说明原理：连接AB,线段AB 与直线「的交点C,就是所求，利用了“两，点之间，线段最 短”的原理 同学们通过讨论下面两个问题，可以进一步体会如何运用所 学知识选择最短路径 鱼学科网书城口 品牌书店·知名救辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 2.发现探究，学习新知 【问题1】如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边1 本节以探究两个实 饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 际问题为基础，利用 轴对称、平移进行线 的路径最短？ 段的等量变化，利用 “两点之间，线段最 短”等求解最短路径 问题.通知也体现了 C 用数学知识在实际 图1 图2 问题中的应用，数学 服务于生活 教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边〡近 似地看成一条直线（图2），C为直线1上的一个动点，那么， 上面的问题可以转化为：当，点C在|的什么位置时，AC与CB 的和最小 追问2在前面一个问题中我们知道当A,B在直线1两侧时， 能够确定1上一点C使得CA+CB.对于问题1，能不能将点B 教师不断发问，引导 “移”到1的另一侧B'处，满足直线1上的任意一点C,都 提示学生通过一系 保持CB与CB'的长度相等？ 列的探究活动，经历 。B 将实际问题转化为 数学问题的建模过 程，通过观察、思考、 学生进行讨论，教师给出提示：由B和B'在直线的两侧， 合作交流，鼓励学生 且CB与CB'的长度相等能联想到什么知识，点呢？学生经过 善于思考、勇于发 提示能够想到轴对称的性质， 现、大胆尝试，培养 合作意识 追问3你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件 的点B′，并确定点C的位置吗？请自行画图. 学生作图，教师指导总结作法： 鱼学科网书城四 品牌书店·知名救辅·正版资源 b.zxxk.com 愿身边的互联网+教辅专家 作法： (1)作点B关于直线I的对称点B: (2)连接B',与直线1相交于点C.则点C即为所求. 追问：你能用所学的知识证明AC十BC最短吗？ 学生自行证明，教师作出指导」 证明：如图，在直线|上任取一点C'(与点C不重合)，连 接AC',BC',B′C. 直线1是点B,B′的对称轴， ∴.CB=CB',C'B=C'B'. .AC+CB=AC十CB′=AB′， 在△AB'C'中，，AB′<AC'+C'B', .AC +CB<AC'+C'B. 即AC+BC最小. 【问题2】（造桥选址问题）如下图，A和B两地在一条河的两 经历了问题1的探究 岸，现要在河上造一座桥N.桥造在何处可使从A到B的路 过程，问题2的探究 径ANB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 过程给予学生更大 的自主性，教师提出 问题循循善诱 师生讨论对于实际问题要先转化为几何问题.把河的两岸看 成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动点，N垂直于 直线b,交直线a于点M. 上面的问题就转化为：如图，直线a∥b,N为直线b上的 个动，点，MN⊥b,交直线a于点M,当点N在直线b的什么位 置时，AM十MN十NB最小？ 鱼学科网书城口 品牌书店·知名救辅·正版资源 ■b.zxxk.c0m 愿身边的互联网+教辅专家 由于河岸宽度是固定的，因此当AM十BN最小时，AM十MMN十NB 最小.这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么 位置时，AM十NB最小？ 追问：能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把上图的情 况转化为下图的情况？ A。 如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N,点 A移动到点A',则AA'=MN,AM十NB=A'N十NB.这样问题 就得到了转化。 追问：你能找到所要求的N点的位置吗？ 如图，连接A'B,交直线b于点N,则点N即为所求， 即在点N处建桥MN,所得路径AMNB最短」 追问：你能证明点N的位置即为所求吗？ 如图，