1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第三课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用(2) 一用空间向量研究距离、夹角问题 第三课时 复习导入： 1.若异面直线1，l,所成的角为0，其方向向量分别为元，，则 co0s0-eos<i,>- i. u训 可团同 2.直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为日，直线AB的方向向量为元， 平面的法向量为元，则 u.n u.n sin 0 cos <i,>= 团同 3.两平面的夹角 平面与平面B的夹角即向量元和元，的夹角或其补角. 设平面与平面β的夹角为0，则 i1i2 cos cos <> ·i2 2 2 学习新课： 1.空间向量在物理中的应用 例9.如图，为某种礼物降落伞的示意图， 其中有8根绳子和伞面连接着，每根 绳子和水平面的法向量的夹角均为 30°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子 的拉力大小相同求降落伞在匀速下落的过程中每根绳 子拉力的大小.（重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N) 分析： 降落伞是匀速下落， 向量方向上的投影向量的 .降落伞8根绳子拉力的合力 和向量与礼物的重力是 的大小等于礼物重力的大小， 对相反向量. 8根绳子的拉力在水平面的法 解： 如图，设水平面的单位法向量为， 2 . 其中一根绳子的拉力为F, <i,F>=30°， n .F在n上的投影向量为 .8根绳子的合力 A-8厚8=4a 降落伞是匀速下落， F含=G物=1×9.8=9.8(N) 43=9.8 同-器10的 练习： 如图，一块均匀的正三角形的 钢板的质量为10√6kg, 在它的顶点处分别受力F,F,F, 每个力与它相邻的三角形的两边之间 的角都是60°，且F=F=F 四 要提起这块钢板，FFF,均要 大于xg,则x的最小值为10 2用向量方法求解立体几 何综合问题 例10.如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC,E是PC的中点， 作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA∥平面EDB; (2)求证：PB⊥平面EFD; (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 分析： 本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直 的判定， 计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向 量的方法解决、 由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底 面， 可以利用这些条件，建立坐标系，用向量及坐标表示问题中的 几何元素，进而解决问题 解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系.设DC=1. (①)证明： 连接AC,交BD于点G,连接EG. 由题意知，A1,0,0,P(0,0,1, o 风-10-的30 .X=2 :.PA∥EG,而EGC平面EDB,PA丈平面EDB, ∴.PA∥平面EDB 个Z (2) 证明： 由题意知，B(1,1,0, 8-儿c0 :9D况=0+22 1 =0 .PB⊥DE G 又EF⊥PB,EF∩DE=E, .PB⊥平面EFD (3) 解：由(2)知PB⊥DF,又EF⊥PB, ∴.∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角 设Fx,y,z,则次=(x,y,z- “S=k8 .（x,y,z-1=k1,1,-1 .x=k,y=k,z=1-k .F(k,k 1-k), DS=(k,k,1-k), .PB⊥DF )6 9D=(1,1,-(k,k,1-k 112 =k+k-1+k 9- 333 =0 :cos∠EFD=f · ·9 .∠EFD=60° 总结： 进行空间向 用空间向量 量的运算，研 把运算结果 表示立体图 究点，直线， “翻译”成相 形中点，直线 平面之间的 应的几何意义 平面等元素 关系 解决立体几何中的问题，可用三种方法： 综合法：以逻辑推理作为工具解 决问题： 向量法：利用向量运算来解决问 题； 坐标法：利用数及其运算来解决问题，坐标法经常 与向量法结合使用：