2.7弧长及扇形的面积（八大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》 2.7 弧长及扇形面积 知识点一 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 【注意】 ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点二 扇形及扇形的面积公式 ◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【注意】 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 题型一 利用公式求弧长 【例题1】（2022秋•鞍山期末）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长 是（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 解题技巧提炼 本题考查了弧长的计算，解题关键是掌握弧长公式l． 【变式1-1】（2023•中山市校级模拟）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【变式1-2】（2023•裕华区二模）一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧ABC的长度为（　　） A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．30πcm 【变式1-3】（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【变式1-4】如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D； （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为6，求的长． 题型二 列方程求圆心角或半径 【例题2】一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于6πcm，则这条弧的半径为 　 　． 解题技巧提炼 本题已知弧长，利用弧长的计算公式得到关于圆心角或半径的方程，然后解方程即可解决问题． 【变式2-1】（2023•平阳县校级三模）若一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径 是 　　 cm． 【变式2-2】（2022秋•颍州区期末）已知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 　　 ． 【变式2-3】（2022秋•越秀区校级期末）已知扇形半径是3cm，弧长为，则扇形的圆心角为 　 　度． 【变式2-4】（2022秋•任城区校级期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约0.75米，则“弓”所对的圆心角为 　 　度． 【变式2-5】（2023•桐庐县一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 　 ． 题型三 利用弧长公式求周长 【例题3】（2023•东莞市一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　） A． B． C．π D．2π 解题技巧提炼 本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和． 【变式3-1】（2023•潢川县校级三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧AC上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为 　 　． 【变式3-2】（2022•绿园区校级模拟）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 　． 【变式3-3】如图，△ABC是边长为12的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为 　 　.（结果保留π） 【变式3-4】（2023•南关区校级二模）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为 　.（结果保留π） 题型四 利用弧长公式求最值 【例题4】（2023•封丘县二模）如图，在扇形AOB中，∠A