专题20 立体几何与空间向量（8类常考解答题压轴题）-【挑战压轴题】备战2024年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题20 立体几何与空间向量（解答题压轴题） 目录 1、直线与平面所成角问题 1 ①求直线与平面所成角定值问题 1 ②求直线与平面所成角最值或范围问题 4 ③直线与平面所成角中探索性问题 6 2、平面与平面所成角问题 9 ①求平面与平面所成角定值问题 9 ②求平面与平面所成角最值或范围问题 12 ③平面与平面所成角中探索性问题 14 3、体积（距离）问题 17 4、折叠问题 19 1、直线与平面所成角问题 ①求直线与平面所成角定值问题 1．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 3．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.    (1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，A到平面的距离为.    (1)求到平面的距离； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. ②求直线与平面所成角最值或范围问题 1．（2023春·黑龙江·高二校联考开学考试）如图，在梯形ABCD中，，点M在边AD上，，，以CM为折痕将翻折到的位置，使得点S在平面ABCD内的射影恰为线段CD的中点．    (1)求四棱锥体积： (2)若点P为线段SB上的动点，求直线CP与平面MBS所成角的正弦值的最大值． 2．（2023春·福建福州·高二校联考期末）如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．    (1)若平面，确定的位置. (2)已知平面ABC，且．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最大值． 3．（2023·海南海口·统考模拟预测）如图，四棱锥中，，，平面平面.    (1)证明：平面平面； (2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值. 4．（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，且，点是棱上的动点（不含端点）. (1)若是棱的中点，求的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 5．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知体积为1的四面体，其四个面均为全等的等腰三角形. (1)求四面体的外接球表面积的最小值； (2)若，的面积为，设点为线段（含端点）上一动点，求直线与面所成角的正弦值的取值范围. ③直线与平面所成角中探索性问题 1．（2023春·福建漳州·高二校考期中）已知直角三角形ABC中，D、E分别是AC、BC边中点，将△CDE和△BAE分别沿着DE，AE翻折，形成三棱锥，M是AD中点．    (1)证明：PM⊥平面ADE； (2)若直线PM上存在一点Q，使得QE与平面PAE所成角的正弦值为，求QM的值． 2．（2023春·云南楚雄·高二校考期末）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.    (1)求证：平面. (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长：若不存在，说明理由． 3．（2023春·江西新余·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 4．（2023·四川宜宾·统考三模）如图（1），在正三角形中，分别为中点，将沿折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接，过点E作平面与平面平行，分别交于. (1)证明：平面； (2)点H在线段上运动，当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 5．（2023·吉林·统考三模）如图，在多面体中，四边形和四边形均是等腰梯形，底面为矩形，与的交点为，平面，且与底面的距离为， (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点． (1)若，证明直线AG在平