专题24 平面向量的线性运算与坐标运算-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

学科网（北京）股份有限公司 专题24平面向量的线性运算与坐标运算 一、核心体系 平面向量的基本概念及其线性运算 基底→平面向量基本定理→平面向量的坐标表示 二、关键能力 了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义；理解向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理；了解向量的线性运算性质及其几何意义。了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 三、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2022年高考中，平面向量的线性运算与坐标运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题. 四、高频考点 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则　　　 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 4.平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 任一向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 5.平面向量共线 （1）线性表示 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. （2）坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0, 五、重点题型 考点一、线性运算 例1-1【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，．记，则（       ） A． B． C． D． 例1-2（2019·山东高考模拟）在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 例1-3.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 训练题组一（向量的拆分） 1、(2020·新高考全国卷Ⅱ)若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　) A．2－　　　　　　　　 B．2－ C．2＋ D．2＋ 2.（2020·湖南衡阳·三模）在平行四边形中，若，则（ ） A． B． C． D． 训练题组二（向量拆分求参） 1.（2019山东高考模拟）如图，在中，，是上一点，若则实数的值为________． 2.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 训练题组三（向量化简） 1. 如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 例2-1.（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________. 例2-2．已知点C为扇形AOB的弧上任意一点，且∠AOB＝120°，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为(　　) A．[－2,2] B．(1，] C．[1，] D．[1,2] 对点训练 1.（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，