第二章 第二节 第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合问题（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第3课时　难点专攻夺高分——函数性质的综合问题

函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．

命题视角一　函数的单调性与奇偶性相结合

[典例]　(1)已知偶函数fx＋，当x∈时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则(　 )

A．a<b<c  B．b<c<a

C．c<b<a  D．c<a<b

(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　 )

A. 

B.∪(1，＋∞)

C. 

D.∪

[解析]　(1)∵当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝x也为增函数，

∴函数f(x)＝x＋sin x为增函数．

∵函数f为偶函数，

∴f＝f，f(x)的图象关于x＝对称，

∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵0<π－3<1<π－2<，

∴f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b，故选D.

(2)易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．

所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得<x<1.

[答案]　(1)D　(2)A

[方法技巧]

奇偶性与单调性综合的两种题型及解法

(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小．

(2)抽象不等式问题，解题步骤是：

①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；

②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．

[提醒]　在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1)．　　

[针对训练]

1．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　 )

A．b＞a＞c  B．c＞b＞a 

C．a＞b＞c  D．a＞c＞b

解析：选C　当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)，又π＞3＞log23＞1＞2－0.2＞0，∴f(－π)＞f(log23)＞f(2－0.2)，∴a＞b＞c.

2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则使不等式f(log3x)－3<0成立的x的取值范围是(　 )

A．(－∞，9)  B．(0,9)

C．(9，＋∞)  D．

解析：选B　当x>0时，f(x)＝2x－1是增函数且f(x)>0，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0满足f(x)＝2x－1，又函数f(x)在R上是连续函数，所以函数f(x)在R上是增函数，且f(2)＝3，进而原不等式化为f(log3x)<f(2)，结合f(x)的单调性可得log3x<2，所以0<x<9，即原不等式的解集为(0,9)．

命题视角二　函数的奇偶性与周期性相结合

[典例]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f＝(　 )

A．－  B．－