第二章 第二节 第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合问题（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第3课时　难点专攻夺高分——函数性质的综合问题 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主． 命题视角一　函数的单调性与奇偶性相结合 [典例]　(1)已知偶函数fx＋，当x∈时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则(　 ) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b (2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　 ) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ [解析]　(1)∵当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝x也为增函数， ∴函数f(x)＝x＋sin x为增函数． ∵函数f为偶函数， ∴f＝f，f(x)的图象关于x＝对称， ∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵0<π－3<1<π－2<， ∴f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b，故选D. (2)易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增． 所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得<x<1. [答案]　(1)D　(2)A [方法技巧] 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 (1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． (2)抽象不等式问题，解题步骤是： ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． [提醒]　在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1)．　　 [针对训练] 1．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b 解析：选C　当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)，又π＞3＞log23＞1＞2－0.2＞0，∴f(－π)＞f(log23)＞f(2－0.2)，∴a＞b＞c. 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则使不等式f(log3x)－3<0成立的x的取值范围是(　 ) A．(－∞，9) B．(0,9) C．(9，＋∞) D． 解析：选B　当x>0时，f(x)＝2x－1是增函数且f(x)>0，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0满足f(x)＝2x－1，又函数f(x)在R上是连续函数，所以函数f(x)在R上是增函数，且f(2)＝3，进而原不等式化为f(log3x)<f(2)，结合f(x)的单调性可得log3x<2，所以0<x<9，即原不等式的解集为(0,9)． 命题视角二　函数的奇偶性与周期性相结合 [典例]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f＝(　 ) A．－ B．－ C. D． [解析]　因为f(x－2)＝f(x＋2)， 所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数， 所以f＝f＝f， 又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f＝－f＝－＝，所以f＝.故选D. [答案]　D　 [方法技巧] 函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．　　 [针对训练] 1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：选D　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D. 2．已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝3，则(k)＝(　 ) A．3 B．0 C．－3 D．2