第二章 第七节 函数与方程（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第七节　函数与方程

[由教材回扣基础]

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

3．二次函数图象与零点的关系

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．

(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

[练小题巩固基础]

一、准确理解概念(判断正误)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　 )

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　 )

(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　 )

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　 )

(5)函数f(x)＝lg x的零点是(1,0)．(　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

二、练牢教材小题

1．(人教A版必修①P88例1改编)已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：

则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　 )

A．2个  B．3个 

C．4个  D．5个

解析：选B　由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．故选B.

2．(新人教B版必修①P126 T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　 )

A．(1,2)  B．(2,3)

C.和(3,4)  D．(4，＋∞)

答案：B

3．(新湘教版必修①P132T1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　 )

A．0  B．1 

C．2  D．3

答案：B

4．(人教B版必修①P75T2改编)函数f(x)＝(x2－2)·(x2－3x＋2)的零点为________．

答案：－，，1,2

三、练清易错易混

1．(忽略二次项系数为零)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　 )

A．－  B．0 

C.  D．0或－

解析：选D　当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－.综上有a＝0或－.

2．(忽略零点存在性定理的条件)设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根所在区间为(　 )

A．(2,2.25)  B．(2.25,2.5)

C．(2.5,2.75)  D．(2.75,3)

解析：选C　因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由函数零点存在性定理知，方程的根所在区间为(2.5,2.75)．

命题视角一　函数零点所在区间的判断(自主练通)

1．函数f(x)＝ln x＋x－6的零点一定位于区间(　 )

A．(2,3)  B．(3,4) 

C．(4,5)  D．(5,6)

解析：选C　由题意得f(x)＝ln x＋x－6为连续函数，且在(0，＋∞)单调递增，f(2)＝ln 2－4＜0，f(3)＝ln 3－3＜0，f(4)＝ln 4－2＜ln e2－2＝0，f(5)＝ln 5－1＞ln e－1＝0，根据函数零点存在性定理，f(4)·f(5)＜0，所以零点一定位于区间(4,5)．

2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　 )

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：选A　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．

3．方程x＝x的解所在的区间是(　 )

A.  B．

C.  D．