考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类-【考点通关】2023-2024学年九年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类 1，配方法的应用的方法技巧 （1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小 （2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值； （3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。 2，根的判别式的应用的方法 【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. （2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。 （3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。 （4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。 3，根与系数的关系方法 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 考点1比较大小 考点2求最值 考点3未知系数的取值 考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题 考点5判断根的情况 考点6求字母的值或取值范围 考点7与三角形结合 考点8与一次函数结合 考点9 根与系数的关系求变形式子 考点1 利用配方法比较大小 1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； (2)比较代数式与的大小． 2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． (3)比较代数式：与的大小． 3．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为+ ；所以当_______时，代数式有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ； (2)比较代数式与的大小． 4．（2023春·吉林长春·八年级校联考阶段练习）我们知道，对于任意一个实数a，具有非负性，即“”．这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如： ∵ ∴ ∴ (1)填空：        _______； (2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程； (3)填空：的最大值为_______． 考点2利用配方法求最值 5．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题： 材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例： ．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2． 完成问题： (1)求的最小值； (2)若实数满足．求的最大值． 6．（2023·全国·九年级假期作业）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如： ①用配方法分解因式： ． 解：原式： ②， 利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解； (2)若 ， 求M的最小值． 8．（2023春·四川达州·八年级统考期末）根据学过的数学知识我们知