2024届高考数学一轮复习第五章《平面向量与复数》第三节 平面向量数量积及应用

第五章 平面向量与复数 第三节 平面向量数量积及应用 必备知识·整合 关键能力·突破 拓展视野 极化恒等式、奔驰定理及其应用 课标要求 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 2.会计算平面向量的数量积，能用坐标表示平面向量的数量积. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，会表示两个平面向量的夹角. 4.会用向量的方法解决简单的平面几何问题、力学问题和其他实际问题. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.平面向量数量积的有关概念 （1）向量的夹角 已知两个非零向量 <m></m> 和 <m></m> ， <m></m> 是平面上的任意一点，作 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 叫做向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角. 当 <m></m> 时， <m></m> 与 <m></m> 相互垂直，记作 <m></m> ； 当 <m></m> 时， <m></m> 与 <m></m> 共线且同向； 当 <m></m> 时， <m></m> 与 <m></m> 共线且反向. （2）向量数量积的定义 已知两个非零向量 <m></m> 与 <m></m> ，它们的夹角为 <m></m> ，则把数量 <m></m> 叫做 <m></m> 与 <m></m> 的数量积（或内积），记作 <m></m> ，即_________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即_________. （3）投影向量 设 <m></m> 是向量 <m></m> 与向量 <m></m> 的夹角， <m></m> 为与 <m></m> 方向相同的单位向量，则_________叫做 向量 <m></m> 在向量 <m></m> 上的投影向量. <m></m> <m></m> <m></m> 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知两个非零向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> . 模 夹角 _______________ <m></m> <m></m> <m></m> 注 意 <m></m> ，当 <m></m> 与 <m></m> 同向时， <m></m> ；当 <m></m> 与 <m></m> 反向时， <m></m> . 3.平面向量数量积的运算律 交换律 结合律 分配律 <m></m> 知识拓展 1.平面向量数量积运算的常用公式 （1） <m></m> ； （2） <m></m> . 2.有关向量夹角的两个结论 （1）若两个向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为锐角，则 <m></m> ，反之不成立（夹角为0时不成 立）； （2）若两个向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为钝角，则 <m></m> ，反之不成立（夹角为 <m></m> 时不 成立）. 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 由 <m></m> 可得 <m></m> 或 <m></m> .( ) × （2） <m></m> .( ) × （3） 两个向量夹角的取值范围是 <m></m> .( ) × （4） 两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是 向量.( ) √ 2. （2023重庆巴蜀一诊）设 <m></m> ， <m></m> 均为单位向量，当 <m></m> ， <m></m> 的夹角为 <m></m> 时， <m></m> 在 <m></m> 方向上的投影向量为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B 3. （新教材改编题）已知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 的夹角 <m></m> 等于 ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> A [解析] <m></m> ，所以 <m></m> . 4. 易错题 向量 <m></m> ， <m></m> ，若 <m></m> ， <m></m> 的夹角为钝角，则实数 <m></m> 的取值 范围是( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C [解析] 因为 <m></m> ， <m></m> 的夹角为钝角， 所以 <m></m> 即 <m></m> 解得 <m></m> ，且 <m></m> . 易错提醒 易忽视向量共线的情况而致