2024届高考数学一轮复习第五章《平面向量与复数》第二节 平面向量基本定理及坐标表示

第五章 平面向量与复数 第二节 平面向量基本定理及坐标表示 必备知识·整合 关键能力·突破 课标要求 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.平面向量基本定理 平面向量基本定理 基底 <m></m> 不共线 提 醒 理解基底应注意以下两点 （1）基底 <m></m> 必须是同一平面内的两个不共线向量，因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底； （2）如果对于一个基底 <m></m> ,有 <m></m> ,那么可以得到 <m></m> 即基底给定，同一向量的分解形式唯一. 2.平面向量的坐标运算 （1）平面向量的坐标运算 已知 <m></m> ， <m></m> . 向量的加法运算 向量的减法运算 向量的数乘运算 向量的模 （2）向量坐标的求法 已知 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ________________， <m></m> _______________________. <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 3.平面向量共线的坐标表示 设 <m></m> ， <m></m> ，其中 <m></m> ，则 <m></m> _______ _________. 注意：因为 <m></m> ， <m></m> 有可能为0，所以 <m></m> 的充要条件不能表示为 <m></m> . <m></m> 知识拓展 （1）若 <m></m> 与 <m></m> 不共线，且 <m></m> ，则 <m></m> . （2）已知 <m></m> 为原点， <m></m> 为线段 <m></m> 的中点，若 <m></m> ， <m></m> ，则由 <m></m> 可得点 <m></m> 的坐标为 <m></m> . （3）已知 <m></m> 的顶点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则由 <m></m> 可得 <m></m> 的重心 <m></m> 的坐标为 <m></m> . （4）两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.( ) × （2） 平面向量的基底不唯一,但只要基底确定,平面内的任何一个向量都可以用这 个基底唯一表示.( ) √ （3） 若 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> 的充要条件可以表示成 <m></m> .( ) × （4） 平面向量无论经过怎样的平移变换其坐标都不变.( ) √ 2. 多选题 设 <m></m> 是平行四边形 <m></m> 对角线的交点，则下列可作为该平行四边形所 在平面的一个基底的是( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> AC 3. （新教材改编题）若向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则向量 <m></m> 可用向 量 <m></m> , <m></m> 表示为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D 4. 易错题 设点 <m></m> ， <m></m> ，若点 <m></m> 在直线 <m></m> 上，且 <m></m> ，则点 <m></m> 的坐标为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> 或 <m></m> D. <m></m> 或 <m></m> C [解析] 由题意得 <m></m> ，∵点 <m></m> 在直线 <m></m> 上，且 <m></m> ， <m></m> 或 <m></m> ，故 <m></m> 或 <m></m> ，∴点 <m></m> 的坐标为 <m></m> 或 <m></m> . 易错提醒 易忽视对向量 <m></m> 方向的讨论而致错. 5. （2021全国乙，13,5分）已知向量 <m></m> ， <m></m> ，若 <m></m> ，则 <m></m> _ _. <m></m