2024届高考数学一轮复习第五章《平面向量与复数》第一节 平面向量的概念及线性运算

第五章 平面向量与复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 必备知识·整合 关键能力·突破 课标要求 1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.掌握平面向量加、减运算，并理解其几何意义. 4.掌握平面向量数乘运算，并理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.平面向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（模） 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为0的向量 单位向量 长度等于_____________的向量 任意 1个单位长度 名称 定义 备注 平行向量（共线向量） 方向____________的非零向量； 平行向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 相同或相反 续表 提 醒 （1）向量是比较抽象的量，有向线段是用来表示向量的具体几何图形； （2）要注意0与 <m></m> 的区别，0是一个实数， <m></m> 是一个向量，且 <m></m> ； （3）单位向量有无数个，它们长度相等，但方向不一定相同. 2.平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 减法 三角形法则 （共起点，指向被减向量） 续表 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 <m></m> 相反 续表 3.共线向量定理 向量 <m></m> 与 <m></m> 共线的充要条件是存在唯一一个实数 <m></m> ，使得 <m></m> . 推论： （1） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线 <m></m> ， <m></m> 共线（证明三点共线）； （2）表示向量的有向线段 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的终点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 共线 <m></m> 存在实数 <m></m> ， <m></m> ，使得 <m></m> ，且 <m></m> ； （3） <m></m> 为线段 <m></m> 所在直线上不同于点 <m></m> 的一点，且 <m></m> ，则 <m></m> . 知识拓展 1.向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零 向量相加，称为多边形法则.一般地，首尾顺次相接的有向线段所表示的多个向量 的和等于从第一个有向线段起点指向最后一个有向线段终点的有向线段所表示的 向量，即 <m></m> .特别地,围成一周的首尾顺次 相接的有向线段所表示的向量的和为零向量. 2. <m></m> 、 <m></m> 、 <m></m> 三点共线 <m></m> （ <m></m> , <m></m> 为平面内任意一点）. 特别地，若 <m></m> 为线段 <m></m> 的中点,则 <m></m> . 3.在 <m></m> 中, <m></m> , <m></m> , <m></m> 分别为三角形三边上的中线,它们交于点 <m></m> （如图所示）, 易知点 <m></m> 为 <m></m> 的重心,则有如下结论: （1） <m></m> ; （2） <m></m> ; （3） <m></m> . 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 有向线段就是向量，向量就是有向线段.( ) × （2） 零向量与任一向量平行.( ) √ （3） 若 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> .( ) × （4） 已知平面上四点 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ，若 <m></m> ，则该四点能构成平行四边形. ( ) × 2. 多选题 在平行四边形 <m></m> 中，下列结论中正确的是( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> ABD 3. 如图