21.2.2 公式法 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 ---- 公式法 学习目标 1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程并学会用判别式判断根的情况；(重点） 1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 课前爬板 1. 如何用配方法解方程？ （1）2x2 + 4x - 1 = 0 1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 自学汇报 x2－5x＋4＝0 1 －5 4 对子互学1 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2－4ac 的符号有以下三种情况： （1）b2－4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 （2）b2 - 4ac = 0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - . （3）b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 总结归纳 1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程即 x2 + x − 1 = 0，a = 1，b = 1，c = −1， ∵ Δ = b2 − 4ac = 12 − 4×1×(−1) = 5＞0， ∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B. B 典例精析 1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 对子互学2 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0； （2）4x2 = 12x − 9； （3）7y = 5( y2 + 1 ). 思考：公式法求根的步骤和方法？ 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0； （2）4x2 = 12x − 9； 解：（1）a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． （3）7y = 5( y2 + 1 ). 解：方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5， ∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0. ∴ 方程没有实数根． 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 Δ = b2 − 4ac > 0 Δ = b2 − 4ac = 0 Δ = b2 − 4ac < 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 例题示范 如何解方程？ 知识巩固：5分钟 按要求爬板2、4、6题 知识巩固：5、7 要点归纳 公式法解方程的步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 − 4ac 的值； 4. 判断：若 Δ = b2 − 4ac≥0，则利用求根公式求出； 若 b2 − 4ac＜0，则方程没有实数根. 知识拓展 整体思想----“换元思想” 例3 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( ) A. q≤4