27.2.3 相似三角形应用举例(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级下册数学同步教案(人教版)

27.2.3 相似三角形应用举例 课题 相似三角形应用举例 课型 新授课 教学内容 教材第39-41页的内容 教学目标 1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度。 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。 教学重难点 教学重点：利用相似三角形解决高度测量问题。 教学难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？ 【师生活动】创设问题情境引发学生思考，激发学生的求知 欲望，增强学习兴趣。在学生的相互交流过程中，慢慢感受 到用相似三角形知识可以测量出不能直接测量的物体的高度 的思路方法，引入新课。 2.类比探究，学习新知 【探究1】探究测量高度的方法 古希腊数学家、天文学 家泰勒斯曾利用相似三 角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，如果木杆EF长为2m，它的影长FD为3m.测得0A = 201m，求金字塔高度BO. 【师生活动】学生思考并展开讨论，寻找解决问题的方法。 寻找两个相似三角形是解题的突破口，根据太阳光线平行的基本常识，得到BA∥ED，得到△DEF∽△ABO，最后解决问题。 【探究2】探究测量河宽的方法 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和点S，使P、Q、S共线且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线b上选取适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线的交点 R.已测得 QS=45m，ST= 90m，QR =60m，请根据这些数据，求河的宽度PQ. 【师生活动】分析问题：用相似的知识来解决，寻找包括河的宽度的相似三角形，分析题目可知△PQR与△PST相似，所以知道QR，ST，QS的长度即可求出PQ的长。 追问：还有其他的解题方法吗？如果删去直线b，在PR延长线上找一点T，过T作TS⊥ ，垂足为S，是否也能求出河的宽度PQ?如果可以，需测量出哪些线段长？ 【探究3】关于盲区问题的方法 如图，左、右并排的两棵大树的高 AB=8m，CD=12m，两树根部的距离BD=5m. 一个人估计自己眼睛距地面1.6m，他沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？ 【师生活动】教师引导学生弄清题意，即当观察者行至图（2)位置时，恰好看到较高树的顶端点C，再往右行，由于树的遮挡，就不能看到点C了，因而问题的关键转化为求图(2)中观察者所处位置M与B之间的距离。这时可设观察者的水平视线与AB、CD分别交于 P、Q，利用树的平行关系，可找出图中相似三角形进而可求线段BM的长。 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）。已知BD=8m，FB=1.8m，人高EF=1.5m，求数高CD。 解：过E作EF⊥CD交CD于H点，交AB于点G， 易得四边形EFDH是矩形，∴EF=GB=DH=1.5m，EG=FB=1.8m， GH=BD=8m，∴AG=AB-GB=0.9m， 易得△AEG∽△CEH，∴，得CH=4.9m， ∴DC=CH+DH=6.4m，即树高6.4m。 【例2】如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等得两脚AD和BC交叉构成，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度2的地方（即同时使OA=2OD，OB=2OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，判断这时CD与AB之间的数量关系，并说明理由。 解：∵OA=2OD，OB=2OC， ∴,又∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△DOC，∴， ∴AB=2CD。 【例3】如图，某校宣传栏BC后面12m处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2m，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住，已知AF⊥BC，AF=3m，BC=10m，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度） 解：如图，∵BC∥ED, ∴△ABC∽△ADE，∴， ∴AG=AF+FG=15m， 即，∴DE=50m， 50÷2=25，25+1=26， 所以DE处共有26棵树。 4.随堂训练，巩固新知 （1）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的