24.1.2 垂直于弦的直径(教案)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级上册数学同步教案(人教版)

24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 课题 垂直于弦的直径 课型 新授课 教学内容 教材第81-83页的内容（垂直于弦的直径） 教学目标 1.充分认识圆的轴对称性。利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理，并能运用进行简单的证明、计算和作图。 2.让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。 教学重难点 教学重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。 教学难点：（1）垂径定理的证明； （2）垂径定理的题设与结论的区分。 教具学具 黑板，可折叠的圆形纸板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引出课题 【情景引入】教师多媒体展示赵州桥 情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 把一些实际问题转化为数学问题。 思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？ 【复习回顾】 我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题 1）什么是轴对称图形？ 2）我们学习过的轴对称图形有哪些？ （电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画） 2.引入新课，探索新知 问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？ 拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？： （1）圆是轴对称图形。 （2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线） （3）圆的对称轴有无穷多条。 3.呈现问题，积极探索 【揭示课题】 电脑上用几何画板上作图： （1）做一圆； （2） 在圆上任意作一条弦 AB； （3） 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。 　　 （板书课题：垂直于弦的直径） 【师生互动】 运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论 （1）图中圆可能会有哪些等量关系？ （2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？ 【拓展提升】 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？ （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 4.学以致用，应用新知 考点1 垂径定理的理解 【例1】如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　) A．2cm B．3cm C．4cm 　 D．4cm 解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝.∴OD＝2，∴AB＝4. 答案：D 考点2 垂径定理的实际应用 【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250. 答案：250 考点3 垂径定理的推论 【例3】如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长． 分析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题． 解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝AB＝×10＝5cm. 4.随堂训练，巩固新知 1．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（　　） A.弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE 2.点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为 （ ） A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 3.如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上动点，则线段OP长的取值范围是（　　） A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5 4.已知半径为10的⊙O中，AB，CD是⊙O的两条平行线．若AB＝8，CD＝10，则AB，CD之间的距离为 　 　． 答案：