专题3.1 椭圆（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.1 椭圆 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 1 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 3 【考点3：椭圆的几何性质】 5 【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 7 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 【知识点：椭圆的定义】 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a<c，则集合P为空集． 【知识点：椭圆的标准方程】 (1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2. (3)求椭圆标准方程的两种思路方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 1．（2023·全国·高二课堂例题）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·陕西渭南·高二校考期中）椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 3．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（　　） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 4．（2023秋·高二课时练习）已知，焦点在轴上，则椭圆的标准方程为 . 5．（2023·江苏·高二假期作业）已知B，C是两个定点，，且的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程． 6．（2023·全国·高二课堂例题）已知的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程. 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 【知识点：椭圆的焦点三角形问题】 (1)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． (2)以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. ③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc. ④焦点三角形的周长为2(a＋c)． 1．（2023秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆的两焦点分别为 ，是椭圆上一点，当的面积取得最大值时，（     ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高二专题练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 3．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B．4 C．7 D． 4．（2023秋·高二课时练习）已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若 ＝0，则△P的面积为 ． 5．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ． 6．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，且满足，则的面积等于 ，的周长等于 ． 7．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的方程为，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且，求的面积． 8．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求 (1) (2)的面积 【考点3：椭圆的几何性质】 【知识点：椭圆的几何性质】 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)