第03讲 立体几何中的向量方法-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第03讲 立体几何中的向量方法 【人教A版2019】 ·模块一 向量法判定位置关系 ·模块二 向量法求空间角 ·模块三 向量法求距离 ·模块四 课后作业 模块一 向量法判定位置关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 5．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 6．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 7．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 8．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【考点1 求平面的法向量】 【例1.1】（2023春·江苏镇江·高二校考期末）已知向量，则平面的一个法向量（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·江苏·高二专题练习）已知，则下列向量是平面法向量的是（　　） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　） A．-1，2 B．1，-2 C．1，2 D．-1，-2 【变式1.2】（2023秋·河南许昌·高三校考开学考试）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ）． A．（1，，4） B．（，1，） C．（2，，1） D．（1，2，） 【考点2 空间线、面平行关系的判定及应用】 【例2.1】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【例2.2】（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．    【变式2.1】（2023春·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上. (1)当P为EF的中点时，证明：平面ADE； (2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【考点3 空间线、面垂直关系的判定及应用】 【例3.1】（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．    【例3.2】（2023秋·高二课时练习）在三棱台中，平面 为的中点．证明：平面平面．    【变式3.1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：. (2)求证：平面. 【变式3.2】（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点