等式与不等式 的性质讲义-2024届高三数学一轮复习

第一节 等式与不等式的性质 ★考点梳理 一、两个实数比较大小的方法 （1）作差法：；；. （2）作商法：若，则；；. 二、不等式的性质： （1）对称性:， . （2）传递性:. （3）加法法则: ； 推论1：移项法则； 推论2：同向可加性 . （4）乘法法则:，； 推论1：同向可乘性: ； 推论2：可乘方性：: `； 推论3：可开方性： . （5）倒数法则：若，则. （6）糖水浓度不等式： 若，，则： （真分数的性质）；（假分数的性质）． ★重难点题型突破 一、不等式性质的应用 （1）判断不等式是否成立，需要给出推理或者反例说明； （2）结合基本初等函数性质进行判断； （3）结合特殊值法做快速判断． 例1、（1）（2023·湖南张家界·统考二模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 点睛：,（） （2）（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例2、（2023年福建省模拟）（多选）已知，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.的最小值为6 点睛：在适当的条件下可以使用放缩法求最值. 二、比较数式的大小与比较法证明不等式 比较数式的大小常用的方法有作差比较法和作商比较法．常结合不等式的性质、基本不等式和函数的单调性进行． 例3、（华南师大附中2023高三月考）（多选）已知，且，则（ ） A. B. C. D. 例4、（2023新课标全国Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、糖水浓度不等式问题 例5、（多选题）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 四、综合运用能力提升 例6、（2023湖北省模拟）（多选）已知，，，，则以下结论正确的是( ) A. B. C. D. 例7、（2023年河北省模拟）（多选）下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 例8、（2023·贵州黔东南凯里一中校考练习）（多选）已知实数a，b满足，且，则（    ） A． B． C． D． 例9、（2023·广东·高三统考开学考试）若正实数满足,且,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 点睛：下面几个分解式是常用的： （1） （2） （3） （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一节 等式与不等式的性质 ★考点梳理 一、两个实数比较大小的方法 （1）作差法：；；. （2）作商法：若，则；；. 二、不等式的性质： （1）对称性:， . （2）传递性:. （3）加法法则: ； 推论1：移项法则； 推论2：同向可加性 . （4）乘法法则:，； 推论1：同向可乘性: ； 推论2：可乘方性：: `； 推论3：可开方性： . （5）倒数法则：若，则. （6）糖水浓度不等式： 若，，则： （真分数的性质）；（假分数的性质）． ★重难点题型突破 一、不等式性质的应用 （1）判断不等式是否成立，需要给出推理或者反例说明； （2）结合基本初等函数性质进行判断； （3）结合特殊值法做快速判断． 例1、（1）（2023·湖南张家界·统考二模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明即可判断AD；根据不等式的基本性质即可判断B；根据幂函数的性质即可判断C. 【详解】A：若，则，故A错误； B：若，则，故，两边平方，可得，故B正确； C：因为在上单调递增，所以若，则，故C正确； D：若，不妨设，，显然不满足，故D错误. 故选：BC. 点睛：,（） （2）（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，所以或， 当时，，A不成立，，， 由，故，当且仅当，即时，等号成立，因为，故等号不成立，故；当时，，