四川省眉山市仁寿第一中学2023-2024学年高三上学期综合检测理科数学试题（二）

仁寿一中南校区2021级高三数学综合测试（二） 理科数学试题 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ） A. ，B. ，C. ，D. ， 5. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若为实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数在处有极大值，则实数的值为（ ） A. 1 B. 或 C. D. 8. 过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则实数（ ） A. B. C. D. 9. 如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 4 10. 已知数列的前项和为．若，则（ ） A. 512 B. 510 C. 256 D. 254 11. 已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13. 在公差为d的等差数列中，已知，则__________． 14. 展开式中常数项为________. 15. 已知双曲线与圆（为双曲线的半焦距）的四个交点恰为一个正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为______. 16. 已知函数.有下列结论：①若函数有零点，则的范围是； ②函数零点个数可能为；③若函数有四个零点，则，且；④若函数有四个零点，且成等差数列，则为定值，且.其中所有正确结论的编号为______. 三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17. 如图，平面四边形内接于一个圆，且，，为钝角，. （1）求； （2）若，求的面积. 18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，. （1）证明：平面PCD. （2）求DA与平面PCE所成角的正弦值. 19. 买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示： 月份／月 1 2 3 4 5 6 7 8 月销售量／百个 4 5 6 7 8 10 11 13 月利润／千元 4.1 4.6 4.9 57 6.7 8.0 8.4 9.6 （1）求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的回归方程（精确到0.01）； （2）2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望. 参考公式：回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：参考数据： 20. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若双曲线E的虚轴的上端点为，问是否存在过点的直线交椭圆C于两点，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数. （1）当时，判断的单调性； （2）若时，设是函数的零点，为函数极值点，求证：. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系xOy中，直