1.3 正方形的性质与判定同步练习2023-2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定 一、选择题 1. 下列说法正确的个数有（       ） ①对角线互相垂直的四边形是菱形． ②矩形的对角线互相垂直且互相平分． ③顺次连接一四边形各边的中点所得到四边形是矩形，则这个四边形一定就是菱形． ④邻边相等的矩形是正方形． A．1 B．2 C．3 D．4 2. 下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3. 下列命题是假命题的是（　　） A．任意多边形的外角和等于360° B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．四条边都相等的四边形是正方形 4. 下列说法：（1）矩形的对角线互相垂直且平分；（2）菱形的四边相等；（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（4）正方形的对角线相等，并且互相垂直平分．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 6. 有下列四个条件：①；②；③；④；从中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（       ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 7. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，，则线段的长度为（       ） A．2 B． C． D． 8. 如图，在正方形中，分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：，正确的是（       ）     A． B． C． D． 9. 如图，在正方形中，，点E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值为3，其中正确的结论是（       ）     A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 10. 如图，正方形的边长为，E是边的中点，P为对角线上一动点，连接、，当点P移动到使时，的值为（       ） A． B． C． D． 11. 如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边EG始终在正方形外），若正方形边长为3，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为（　　） A．9 B．3 C．4.5 D．2.25 12. 如图，正方形中，点E、F、H分别是、、的中点，、交于G，连接、．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13. 一张边长为的正方形纸片，现要利用这张正方形纸片剪出一个腰长为的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另外两个顶点都在正方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为___． 14. 如图，已知点是正方形内的一点，连接、、．若，，，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形边、分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为______． 16. 如图，正方形的边长为，是边的中点，点是正方形内一动点，，将线段绕点逆时针旋转得，连，线段的最小值为______． 三、解答题 17. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是_________；证明此猜想时，可取的中点P，连接，根据此图形易证，则判断的依据是_______． (2)点E在边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． 18. 如图，正方形的边长为，为对角线，平分，．         (1)求证：； (2)求的长． 19. 如图，是正方形的边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺完成画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)在图（1）中，平移线段，使点与点重合； (2)在图（2）中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． 20. 如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，．     (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)当满足何条件时，四边形是正方形，请在方框内画出图形并说明理由． 21. 综合与实践： 问题情景：如图1、正方形与正方形的边，在一条直线上，正方形以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接，．     (1)操作发现：当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：； (2)操作发现：如图3，当点E在延长线上时，连接，求的度