1.3 正方形的性质与判定 同步测试卷-2023-2024学年北师大版九年级数学上册

1.3 正方形的性质与判定 同步测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，正方形中，点为对角线的交点，直线过点分别交、于、两点，若过上异于点的一点作直线与正方形的一组对边所在的直线分别交于、两点，满足，则这样的直线不同于直线的条数共有(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条 2. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，连接、，将绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置，则旋转角为(    ) A. B. C. D. 3. 如图，边长为的正方形的对角线交于点，过点的直线分别交边，于，两点，则阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 4. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是(    ) A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为(    ) A. B. C. D. 6. 如图，四边形是边长为的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，则(    ) A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上且，，则正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 8. 点是正方形边上一点不与、重合，连接并将线段绕点顺时针旋转，得线段，连接，则等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 9. 将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转到正方形的位置如图，使得点落在对角线上，与交于点，则          结果保留根号 10. 如图，边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于点，那么的长是          ． 11. 如图，正方形的边长为，点在边上．以点为中心，把顺时针旋转至的位置．若，则          ． 12. 定义：在平面内，一个点到图形的最长距离是这个点到这个图上所有点的最长距离，在平面内有一个正方形，边长为，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最长距离的最小值为          ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为______． 14. 已知点为正方形对角线的中点，点为下方一点，且，，，则长为______． 15. 如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接、则线段长的最小值为______． 16. 如图，在中，，，点为中点，且以为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点旋转一周，在整个旋转过程中，的最大值为          ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 本小题分 在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点，过作交于点，连接． 如图，求证：； 当时，依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 18. 本小题分 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗？证明你的结论． 19. 本小题分 如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连． 求证：矩形为正方形； 求证：． 20. 本小题分 已知：如图，菱形的对角线与相交于点，若． 求证：四边形是正方形． 是上一点，，垂足为，与相交于点，求证：． 21. 本小题分 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且连接，，，． 证明：≌． 若，，求四边形的周长． 22. 本小题分 在正方形中： 已知：如图，点、分别在、上，且，垂足为，求证：． 如图，如果点、、分别在、、上，且，垂足，那么、相等吗？证明你的结论． 如图，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足，那么、相等吗？证明你的结论． 23. 本小题分 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】： 如图，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； 若，如图，得到此时与重合，延长交于点， 试判断四边形的形状，并说明理由； 连接，求的长； 在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 24