第2章 一元二次方程（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第2章 一元二次方程（知识归纳+题型突破） 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　 (1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系； 　 　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点：　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 题型一 一元二次方程的相关概念 【例1】下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 巩固训练： 1．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，它的一个根是2，则这个方程为 ． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是 ． 4．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(    ) A．1 B． C． D．2 5．若是关x的方程的解，则的值为 ． 6．若实数，分别满足，，且，则的值为 ． 7．设，是方程的两个根，则 ． 题型二 一元二次方程的解法 【例2】用适当的方法解下列一元二次方程 （1）4（x-1）2-36=0（直接开平方法） （2）x2+2x-3=0（配方法） （3）x（x-4）=8-2x（因式分解法） （4）（x+1）（x-2）=4（公式法） 巩固训练： 1．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．用配方法解方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 3．x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（    ） A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝0 4．解下列方程：①  ②  ③  ④．