第2章 一元二次方程（压轴题专练）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第2章 一元二次方程（压轴题专练） 题型01：公式法解一元二次方程 1．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为 ． 2．阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； (2)将代数式分解因式． 题型02：换元法解一元二次方程 3．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 4．阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2  已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：解方程：． (2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足：，求的值． (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，求的值． 5．阅读材料，解答问题： 材料一：已知实数a，满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 材料二：已知实数a，满足，，将两边同除以，得，即，则可将a，看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： (1)已知实数a，满足，，求的值； (2)已知实数a，b满足，，且，求的值． 6．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 题型03：一元二次方程根与系数的关系的综合应用 7．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 8．对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 9．（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 题型04：一元二次方程有关的新定义题型 11．根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法： ①化简一共有8种不同的结果； ②化简一共有8种不同的结果； ③若，（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（    ） ①化简一共有8种不同的结果； ②的最大值是5； ③若，（为正整数），则当时，； ④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论： （1）代数式：的“同心式”为； （2）若与互为“同心式”，则的值为1； （3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数； （4）若A