14.2.1 平方差公式-2023-2024学年八年级数学上册教学课件（人教版）

人教版初中数学八年级(上) 第14章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 探究新知 情境导入 要点归纳 典例精讲 查漏补缺 课堂小结 提升能力 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 情境导入 温故知新 乘法公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x+1)(x-1)= ②(m+2)(m-2)= ③(2m+1)(2m-1)= ④(5y+z)(5y-z)= 【想一想】这些计算结果有什么特点？ 探究新知 知识点一 平方差公式 x2-12 m2-22 (2m)2-12 (5y)2-z2 =x2-1 =m2-4 =4m2-1 =25y2-z2 用a表示它们的面积,并比较它们的面积的大小？ a米 b米 b米 a米 (a-b)米 ＝a2-b2 (a+b)(a-b) (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形： 1.(a-b)(a+b)=a2-b2 2.(b+a)(-b+a)=a2-b2 平方差公式 要点归纳 知识点一 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等. (a+b)(a-b)=a2-b2 相同为a 相反为b，-b 1.口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=_____. (2)(a-b)(b+a)=______. (3)(-a-b)(-a+b)=_____. (4)(a-b)(-a-b)=______. a2-b2 a2-b2 b2-a2 b2-a2 基础训练 知识点一 平方差公式 2.填一填： (a-b)(a+b) a b a2-b2 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x) 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 3.下列运算中,可用平方差公式计算的是(　　) A.(x+y)(x+y) B.(-x+y)(x-y) C.(-x-y)(y-x) D.(x+y)(-x-y) C 【例1】计算：(1)(3x＋2)(3x-2 )；(2)(-x+2y)(-x-2y). (2)原式=(-x)2-(2y)2 =x2-4y2. 解：(1)原式=(3x)2-22 =9x2-4； 典型例题 知识点一 平方差公式 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 【例2】计算: (1)102×98； (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) . 解: (1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) = 1002-22 =10000-4 =(100+2)(100-2) =9996； =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 通过合理变形,利用平方差公式,可以简化运算. 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算. 典型例题 知识点一 平方差公式 【例3】先化简,再求值：(2x-y)(y＋2x)-(2y＋x)(2y-x), 其中x=1,y=2. 原式=5×12-5×22=-15. 解：原式=4x2-y2-(4y2-x2) =4x2-y2-4y2+x2 =5x2-5y2. 当x=1,y=2时， 典型例题 知识点一 平方差公式 【例4】对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数. 解：原式=9n2-1-(9-n2) =10n2-10. ∵(10n2-10)÷10=n2-1. n为正整数， ∴n2-1为整数 典型例题 知识点一 平方差公式 方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究整除性或倍数问题时,一般先将代数式化为最简,然后根据结果的特征,判断其是否具有整除性或倍数关系. 【例5】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ ∵a2＞a2－16， 解：李大妈吃亏了．