1.3直线的方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

1.3直线的方程 温故知新 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴 与直线l 方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 . ②倾斜角的范围为 . 正向 向上 0°≤ ＜180° 0° (2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 的 叫做这条 直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= ， 倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线 的斜率公式为k= 正切值 tan 思考：在直角坐标系内确定一条直线，需要哪些几何要素？ 如图所示，直线经过点，且斜率，则直线上的每个点在平面直角坐标系中的位置就被确定了. 也就是说，对于直线上不同于点的每一个点，其坐标都和已知点的坐标与斜率存在某种恒定的数量关系. 那么，这一数量关系是什么呢？   （1）已知直线上一点 和直线的倾斜角（或斜率 )． （2）已知直线上两点． 设是直线上不同于点的任意一点，由直线斜率的概念，我们知道，不论点在直线上如何运动，由两点的坐标计算出的斜率是恒定不变的，即. 整理，得　.　① 此时，点的坐标也满足方程①. 这说明，直线上任意一点的坐标都满足方程①. 可以验证，以方程的解为坐标的点都在直线上，所以把方程叫作直线的方程. 抽象概括 一般地，如果一条直线上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线上，那么这个方程称为直线的方程. 一般地，如果一条直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程。 如果已知直线l上一点P(x0,y0) 及斜率k，可用上述方法求出直线l 的方程。 即： 1.直线方程的点斜式 由直线上的一点和斜率(一个方向)所确定的，称为直 线方程的点斜式。 当直线l与x轴垂直时，斜率k不 存在，如果l经过点P(x0,y0),且与x轴 垂直，则它的特点是：l上任意一点 的横坐标都是x0。 所以直线l的方程为： 例2 分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并 画出图形： (1) 斜率k＝2； (2) 与x轴平行； (3)与x轴垂直。 解 (1)这条直线经过点P(3,4),斜率k＝2，点斜式方程为 可化为 如下图所示： 1 1 例2 分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并 画出图形： (1) 斜率k＝2； (2) 与x轴平行； (3)与x轴垂直。 解 (2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行，即斜率k＝0， 所以直线方程为 如下图所示： 1 1 l x y O 直线上任意点 纵坐标都等于 特殊情形：①轴平行或重合时，倾斜角为0°，斜率 或 例1 分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并 画出图形： (1) 斜率k＝2； (2) 与x轴平行； (3)与x轴垂直。 解 (1)这条直线经过点P(3,4),斜率k＝2，点斜式方程为 可化为 如下图所示： 1 1 例1 分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并 画出图形： (1) 斜率k＝2； (2) 与x轴平行； (3)与x轴垂直。 解 (2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行，即斜率k＝0， 所以直线方程为 如下图所示： 1 1 例1 分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并 画出图形： (1) 斜率k＝2； (2) 与x轴平行； (3)与x轴垂直。 解 (3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直，所以直线方 程为 如下图所示： 1 1 例2： 已知直线l 斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求直线l的方程。 解：由直线的点斜式方程，得 即为 . 其中，b为直线与y轴交点的纵坐标。 我们称b为直线l 在y轴上的截距。 方程 由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定 。 所以，这个方程 就也叫做直线的斜截式方程。 2.直线的斜截式方程。 1.直线y=2x-4的斜率是 ， 在y轴上的截距是 。 2.直线2x+y-4=0的斜率是