专题2.3 全称量词命题与存在量词命题（六个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

2.3全称量词命题与存在量词命题 知识点1 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 知识点2 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 知识点3 命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 重难点1全称量词命题与存在量词命题 【例1】下列语句中，是全称量词命题的是_____，是存在量词命题的是_____． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 【例2】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 【变式1-1】（多选）下列语句是全称量词命题的是（    ） A．对任意实数x， B．有一个实数a，a不能取对数 C．每一个向量都有方向吗 D．等边三角形的三条边相等 【变式1-2】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【变式1-3】指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对区间内的任意整数，有； (2)对某个有理数，有； (3)线段上有一点满足比例式． 重难点2判断全称、存在量词命题的真假 【例3】（多选）下列四个命题中假命题是（    ） A．， B．， C．，使 D．， 【例4】判断下列命题的真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点P． (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示． (3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)存在一个实数x，使得方程成立． (5)，． (6)，，． （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 【变式2-1】下列命题中是真命题的为（ ） A．，使 B．， C．， D．，使 【变式2-2】能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）下列结论中正确的是（    ） A．，能被2整除是真命题 B．，不能被2整除是真命题 C．，不能被2整除是真命题 D．，能被2整除是真命题 重难点3根据含量词命题的真假求参数 【例5】“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知命题成立；命题成立． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真假，求实数的取值范围． （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 【变式3-1】“”是真命题，则m的范围是_____ 【变式3-2】命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为_____. 【变式3-3】已知命题，为真命题，求实数a的取值范围． 重难点4全称量词命题的否定与真假判断 【例7】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例8】若命题：，，则的否定为_____命题（填“真”或“假”）. （1）对全称量词命题否定的两个步骤 ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词()改为存在量词()． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是