专题18 数列（4类常考解答题压轴题）-【挑战压轴题】备战2024年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题18 数列（解答题压轴题） 目录 ①数列求通项，求和 1 ②数列中的恒成立（能成立）问题 5 ③数列与函数 8 ④数列与概率 11 ①数列求通项，求和 1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求． 2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)设，设数列的前项和，求证：. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）. 3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围. 4．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为（取整函数表示不超过的整数，如），求数列的前100项的和. 5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 6．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列满足，且 (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 7．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 8．（2023·福建三明·统考三模）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，的前项和为，证明：. 9．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的首项，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求. 11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知数列是递增的等差数列，是公比为的等比数列，的前项和为，且成等比数列，，成等差数列． (1)求，的通项公式； (2)若，的前项和．证明：． 12．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，，成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列的前项和.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①；②；③. ②数列中的恒成立（能成立）问题 1．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数． (1)设，求数列的通项公式； (2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由． 2．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，点在曲线上. (1)证明：数列为等差数列； (2)若，数列的前项和满足对一切正整数恒成立，求实数的值. 3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．（2023·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列. (1)求； (2)求最小的正整数，使得存在数列，. 5．（2023·上海徐汇·统考一模）对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. (1)若（是正整数），求，，，的值； (2)若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； (3)若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 6．（2023·四川雅安·统考模拟预测）给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答． 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______． (1)求的通项公式； (2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ③数列与函数 1．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设是定义域为的函数，如果对任意的、均成立， 则称是“平缓函数”. (1)若， 试判断和是否为“平缓函数” ? 并说明理由; (参考公式:时， 恒成立) (2)若函数是“平缓函数”， 且是以 1为周期的周期函数， 证明:对任意的、， 均有; (3)设 为定义在上函数， 且存在正常