13.4 课题学习 最短路径问题-【追梦之旅·大先生】2023-2024学年八年级上册初二数学同步训练方案（人教版）

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 专题　 构造等腰三角形的常用方法 利用平行线构造等腰三角形 1. (10 分)(安阳期中)已知,△ABC 为等边三角 形,点 D 为 AC 上的一个动点,点 E 为 BC 延长 线上一点,且 BD=DE. (1)如图 1,若点 D 在边 AC 上,猜想线段 AD 与 CE 之间的关系,并说明理由; (2)如图 2,若点 D 在 AC 的延长线上,(1)中 的结论是否成立,请说明理由. 图 1 　 　 图 2 截长补短法 2. (10 分)如图,在△ABC 中,∠BAC = 120°,AD ⊥BC 于点 D,且 AB+BD =DC,求∠C 的度数. (用两种方法解答) 倍角关系构造等腰三角形 3. (10 分)【问题原型】 有这样一道问题:如图①,在△ABC 中,∠BCA = 2∠A,BD 为边 AC 上的中线,且 BC = 1 2 AC. 求证:△BCD 为等边三角形. 小聪同学的解决办法是:延长 AC 至点 E,使 CE=BC,如图②,利用二倍角的条件构造等腰 三角形进而解决问题. 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题. 图① 　 　 　 图② 64 13. 4　 课题学习　 最短路径问题 最短路径问题 1. (3 分)如图,点 P 是直线 a 外一点,PB⊥a,点 A,B,C,D 都在直线 a 上,下列线段中最短的 是(　 　 ) A. PA　 　 　 　 　 　 　 　 B. PB C. PC D. PD 2. (8 分)如图,直线 l 旁有两点 A、B,在直线上 找一点 C 使到 A、B 两点的距离之和最小. 在 直线上找一点 D 使到 A、B 两点的距离相等. 3. (7 分)如图,点 P 是∠AOB 内部一点,现有一 只蚂蚁要从 P 点出发,先到 OA,再到 OB,最后 返回到点 P. 请作出蚂蚁爬行的最短路径(要 求:保留作图痕迹,不写作法) . 造桥选址问题 4. (3 分)如图,平行河岸两侧各有 一城镇 P,Q,根据发展规划,要修 建一条公路连接 P,Q 两镇. 已知相同长度造 桥总价远大于陆上公路造价,为了尽量减少 总造价,应该选择方案(　 　 ) A. B. C. D. 5. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = AC, AD、CE 是△ABC 的两条中线,点 P 是 AD 上一个动点,则 BP+EP 的最 小值等于线段(　 　 ) A. BC　 　 　 B. CE　 　 　 C. AD　 　 　 D. AC 6. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = 5,AC = 7,MN 为 BC 边上的垂直平分线,若点 D 在直线 MN 上,连接 AD, BD, 则 △ABD 周长的最小值 为　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. (3 分)(三门峡月考)如图,∠AOB = 60°,点 P 在∠AOB 的平分线上,OP = 10 cm,点 E,F 是 ∠AOB 两边 OA,OB 上的动点,当△PEF 的周 长最小时,点 P 到 EF 的距离是　 　 　 　 . 74 ∠PDB= ∠DEC,∠BPD= ∠DCE,DB=DE, ∴ △BPD≌△DCE(AAS), ∴ PD=CE,∴ AD=CE; (2)(1)中结论仍成立,即 AD=CE. 理由如下: 过点 D 作 DP∥BC,交 AB 的延长线于点 P. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ △APD 也是等边三角形, ∴ AP=PD=AD, ∠APD= ∠ABC= ∠ACB= ∠PDA= 60°. ∵ DB=DE,∴ ∠DBC= ∠DEC. ∵ DP∥BC,∴ ∠PDB= ∠CBD, ∴ ∠PDB= ∠DEC,在△BPD 和△DCE 中, ∠PDB= ∠DEC,∠P= ∠DCE,DB=DE, ∴ △BPD≌△DCE(AAS), ∴ PD=CE,∴ AD=CE. 2. 解:方法 1(截长法):在 CD 上取点 E,使 DE = BD,连接 AE,则 CE=AB=AE. ∴ ∠B= ∠AED= ∠C+∠CAE= 2∠C. ∵ ∠BAC= 120°, ∴ ∠B+∠C= 2∠C+∠C= 60°. ∴ ∠C= 20°. 方法 2(补短法):延长 DB 至点 F,使 BF = AB,连接 AF,则 AB+BD=DF=CD. ∴ AF=AC,∠C= ∠F= 1 2 ∠ABC. ∵ ∠BAC= 120°, ∴ ∠ABC+∠C= ∠ABC+ 1 2 ∠ABC= 60°, ∴ ∠ABC= 40°,∠C= 20°. 3. 解:延长 AC 至点 E,使 CE=BC,连接 BE. ∵ BD 为边 AC 上的中