1.4 解直角三角形 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形 知识回顾 一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？ (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系: ∠A＋∠ B＝ 90°； (3)边角之间的关系: sinA＝ a c cosA＝ tanA＝ Ａ Ｃ Ｂ a b c 有三条边和三个角，其中有一个角为直角 b c a b 锐角三角函数 30° 45° 60° 角α 三角函数 填一填 记一记 在Rt△ABC中, （1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, A 在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素, 就可以求出其余三个元素. (其中至少有一个是边), 探究新知 你发现了什么 B C ∠B AC BC ∠A ∠B AB 一角一边 两边 （2）根据AC= ，BC= 你能求出这个三角形的其他元素吗？ 两角 （3）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗? 不能 你能求出这个三角形的其他元素吗? 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程,叫 解直角三角形 解直角三角形的依据 Ａ Ｃ Ｂ a b c (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90°； (3)边角之间的关系: 新知识 （4）面积公式： tanA＝ a b sinA＝ a c cosA＝ b c Ａ Ｃ Ｂ a b c 例题讲解 解： ？ ？ ？ 例1、 在Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a,b,c，且a =,b=，求这个三角形的其他元素。 例2、在Rt△ABC,∠C=90°,∠B=25°,b=30,解这个直角三角形 (精确到1) . 例题讲解 Ａ Ｃ Ｂ a b c 尽量选择原始数据,避免累积误差 1、在Rt△ABC 中，∠C =90°，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（非特殊角的求出三角函数即可） （1）已知 a =4，b =8； （2）已知 b =10，∠B=60° ； （3）已知 c=20，∠A=60° ． 随堂练习 （1）已知 a=4，b =8；（2）已知 b =10，∠B =60° ；（3）已知 c=20，∠A =60° ． （1）在Rt△ABC中，∠C =90°， a =4，b =8； ∴c2=a2 +b2 = 42+82 =80 ∴c = ∵sinA＝ ∴ ∠A≈ 27O ∠B≈63O （2）在Rt△ABC中，∠C =90°, b =10，∠B =60°； ∴∠A =30°, ∵sinB=sin60o= ∴ ＝ ∴c= ∵ a2=c2-b2 ∴a= Ａ Ｃ Ｂ a b c （1）已知 a =4，b =8；（2）已知 b =10，∠B =60° ； （3）已知 c =20，∠A =60° ． 解（3）在Rt△ABC中，∠C =90°，c=20，∠A=60°； ∵∠A =60°∴∠B =30° ∵sinA = sin60°= ∴a=10 ∴cosA = cos60°= ∴b=10 ∴∠B =30°,a = ， b =10 Ａ Ｃ Ｂ a b c B Ｃ A b a c B Ｃ A a=19 b c 课本习题 Ａ Ｃ Ｂ a b c B Ｃ A b a c 45° 4.要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤∠a≤75°.如果现有一个长6m的梯子，那么 （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到0.1m） （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角a等于多少？（精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？ 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． 问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m 所以 BC≈6×0.97≈5.8 由计算器求得 sin75°≈0.97 由 得 A B α C 对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数 由于 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66° 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的． A