2024届高考数学一轮复习第三章《一元函数的导数及其应用》专项突破一 函数与导数-第2课时 利用导数解决不等式恒（能）成立问题

专项突破一 函数与导数 第2课时 利用导数解决不等式恒（能）成立问题 对利用导数研究含参不等式恒（能）成立问题，一般能分离参数的先分离参数，若不能分离参数或分离参数后不能求最值，则常用最值转化法求参数的取值范围. 题型一 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题 例1 （2020全国Ⅰ，21,12分）已知函数 <m></m> . （1） 当 <m></m> 时，讨论 <m></m> 的单调性； [解析] 当 <m></m> 时， <m></m> ，则 <m></m> ， 由于 <m></m> ，故函数 <m></m> 单调递增，且 <m></m> <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减； 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增. （2） 当 <m></m> 时， <m></m> ,求 <m></m> 的取值范围. [解析] 由 <m></m> 得 <m></m> ， <m></m> ， ①当 <m></m> 时，不等式为 <m></m> ，符合题意. ②当 <m></m> 时，分离参数得 <m></m> ， 记 <m></m> ， 则 <m></m> ， 令 <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， 故 <m></m> 单调递增， <m></m> <m></m> ， 故函数 <m></m> 单调递增， <m></m> ， 即 <m></m> 恒成立， 故当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递增； 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减，因此， <m></m> , 综上，实数 <m></m> 的取值范围是 <m></m> . 方法感悟 利用导数研究不等式的恒（能）成立问题的求解策略 1.分离参数将原不等式恒成立问题转化为函数的最值问题； 2.利用可分离变量，构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，得出参数的取值范围. 迁移应用 1. （2023河北石家庄模拟）已知函数 <m></m> . [解析] 命题分析 本题主要考查导数的几何意义，不等式恒成立问题，利用导数 研究函数的恒成立问题以及转化思想的应用，题目思维含量大，导数的计算量比 较大，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养. 答题要领 （1）对 <m></m> 求导得 <m></m> ，进一步得 <m></m> ， <m></m> 的值，即可写出切 线方程. （2）由 <m></m> ，得 <m></m> ，分离参数 <m></m> 构造函数 <m></m> ，求导得 <m></m> ，根据 <m></m> 的正负判断函数 <m></m> 的单调性，进一步得最值，即可得到实数 <m></m> 的取值范围. 详细解析 （1）若 <m></m> ，则 <m></m> ，则 <m></m> ， 可得 <m></m> <m></m> ， <m></m> ，所以所求切线的方程为 <m></m> . （2）由 <m></m> ，得 <m></m> ， 则“ <m></m> 对任意的 <m></m> 恒成立”可转化为“ <m></m> 对任意的 <m></m> 恒成立”. 设函数 <m></m> ，则 <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> ；当 <m></m> 时， <m></m> ， 所以函数 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，在 <m></m> 上单调递减， 所以 <m></m> . 于是 <m></m> ，解得 <m></m> . 故实数 <m></m> 的取值范围是 <m></m> . （1） 若 <m></m> ，求函数 <m></m> 的图象在点 <m></m> 处的切线方程； （2） 当 <m></m> 时，函数 <m></m> 恒成立，求实数 <m></m> 的取值范围. 题型二 最值转化法求参数的取值范围 例2 （2021河北衡水第一中学高三月考）已知函数 <m></m> . （1） 若 <m></m> 在定义域内为增函数，求 <m></m> 的取值范围； [解析] 易知 <m></m> 的定义域为 <m></m> ， <m></m> ， 若 <m></m> 在定义域内为增函数，则 <m></m> 在 <m></m> 上恒成立，即 <m></m> 在 <m></m> 上恒成立， 而 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 即 <m></m> 的取值范围为 <m></m> . （2） 设 <m></m> ，当 <m></m> 时，若 <m></m> ，求 <m></m> 的值. [解析] <m></m> . 令 <m></m> ，