2024届高考数学一轮复习第三章《一元函数的导数及其应用》专项突破一 函数与导数-第1课时 导数与不等式的证明

专项突破一 函数与导数 第1课时 导数与不等式的证明 利用导数证明不等式问题一般要用到构造法，构造法是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数的单调性、极值、最值加以证明. 题型一 构造函数证明不等式 角度1 作差构造函数 例1 （2023河北廊坊模拟）已知函数 <m></m> ， <m></m> 是 <m></m> 的导函数. （1） 求 <m></m> 的极值； [解析] 因为 <m></m> ， 所以 <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> ；当 <m></m> 时， <m></m> . 所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，在 <m></m> 上单调递减， 从而 <m></m> 有极大值，极大值为 <m></m> ，无极小值. 证明：令 <m></m> ， 则 <m></m> . 设 <m></m> ，则 <m></m> . 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减. 又 <m></m> ，所以当 <m></m> 时， <m></m> ； 当 <m></m> 时， <m></m> ， 即当 <m></m> 时， <m></m> ； 当 <m></m> 时， <m></m> . 所以 <m></m> 在区间 <m></m> 上单调递增，在区间 <m></m> 上单调递减.所以 <m></m> ，所以 <m></m> . （2） 当 <m></m> 时，证明： <m></m> . 方法感悟 构造差函数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形：将不等式 <m></m> 变形为 <m></m> ； （2）构造新的函数： <m></m> ； （3）利用导数研究函数 <m></m> 的性质，得到所证不等式. 迁移应用 1. 已知函数 <m></m> 与 <m></m> 的图象有公共点 <m></m> ,且在点 <m></m> 处的切线相同,求证: <m></m> . 证明 设 <m></m> ,则 <m></m> .易知 <m></m> , <m></m> ,∵函数 <m></m> 与 <m></m> 的图象在点 <m></m> 处的切线相同, <m></m> ,即 <m></m> ，得 <m></m> （舍负）， <m></m> .令 <m></m> ,则 <m></m> ,当 <m></m> 时, <m></m> ;当 <m></m> 时, <m></m> .故 <m></m> 在 <m></m> 上单调递减,在 <m></m> 上单调递增,∴当 <m></m> 时,函数 <m></m> 取得极小值,即为最小值, <m></m> , <m></m> . 角度2 隔离分析法 例2 （2021全国乙，20，12分）设函数 <m></m> ，已知 <m></m> 是函数 <m></m> 的极值点. （1） 求 <m></m> ； [解析] <m></m> 的定义域为 <m></m> ， 令 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> ， 因为 <m></m> 是函数 <m></m> 的极值点，所以 <m></m> <m></m> ，即 <m></m> ，所以 <m></m> . （2） 设函数 <m></m> .证明： <m></m> . 证明：由（1）可知， <m></m> ， <m></m> . 要证 <m></m> ，即证 <m></m> ， 因为当 <m></m> 时， <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ， 所以只需证明 <m></m> ， 即 <m></m> ， 令 <m></m> ， 则 <m></m> ， 所以 <m></m> <m></m> ，当 <m></m> 时， <m></m> ，函数单调递减，当 <m></m> 时， <m></m> ，函数单调递增，所以 <m></m> 为 <m></m> 的极小值点， 所以 <m></m> ，即 <m></m> ， 故 <m></m> ，所以 <m></m> ， 即 <m></m> 得证. 方法感悟 隔离分析法往往要在前面问题中证明出某个不等式，在后续的问题中应用前面的结论，呈现出层层递进的特点. 迁移应用 2. （2023山东东营模拟）已知 <m></m> . （1） 求函数 <m></m> 在 <m></m> 上的最小值； [解析] 由 <m></m> ， <m></m> ，得 <m></m> ，令 <m></m> ，得 <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 单调递减； 当 <m><