2024届高考数学一轮复习第三章《一元函数的导数及其应用》第二节 利用导数研究函数的单调性

第三章 一元函数的导数及其应用 第二节 利用导数研究函数的单调性 必备知识·整合 关键能力·突破 微点培优 构造函数，巧妙解题 课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 函数的导数与单调性的关系 函数 <m></m> 在某个区间内可导， （1）若 <m></m> ，则 <m></m> 在这个区间内__________； （2）若 <m></m> ，则 <m></m> 在这个区间内__________； （3）若 <m></m> ，则 <m></m> 在这个区间内是__________. 单调递增 单调递减 常数函数 知识拓展 用充分、必要条件诠释导数与函数单调性的关系 <m></m> 在区间 <m></m> 内恒成立是 <m></m> 在区间 <m></m> 内单调递增（减）的 充分不必要条件; <m></m> 在区间 <m></m> 内恒成立是 <m></m> 在区间 <m></m> 内单调递增（减）的 必要不充分条件; <m></m> 在区间 <m></m> 内恒成立且在区间 <m></m> 的任意子区间内都不恒等 于零是 <m></m> 在区间 <m></m> 内单调递增（减）的充要条件. 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 若函数 <m></m> 在 <m></m> 内单调递增，则一定有 <m></m> .( ) × （2） 若函数 <m></m> 在某个区间内恒有 <m></m> ,则 <m></m> 在此区间内不单调.( ) √ （3） 在 <m></m> 内 <m></m> ,且 <m></m> 的根有有限个，则 <m></m> 在 <m></m> 内是减函 数.( ) √ 2. （新教材改编题）函数 <m></m> 的导函数 <m></m> 的图象如图所示，则( ) C A. 在区间 <m></m> 上， <m></m> 单调递增 B. 在区间 <m></m> 上， <m></m> 单调递减 C. 在区间 <m></m> 上， <m></m> 单调递增 D. 在区间 <m></m> 上， <m></m> 单调递增 [解析] 在区间 <m></m> 上， <m></m> 恒成立，所以 <m></m> 在区间 <m></m> 上单调递增. 3. 易错题 函数 <m></m> 的单调递增区间为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B [解析] 由题意得 <m></m> <m></m> . 令 <m></m> ， 则 <m></m> ，解得 <m></m> ， 所以函数的单调递增区间为 <m></m> . 易错提醒 求单调区间时易忽略定义域. 4. （新教材改编题）已知定义在区间 <m></m> 上的函数 <m></m> ，则函 数 <m></m> 的单调递增区间是_ _____. <m></m> [解析] <m></m> ，令 <m></m> ， 则其在区间 <m></m> 上的解集为 <m></m> ， 即定义在 <m></m> 上的函数 <m></m> 的单调递增区间为 <m></m> . 关键能力·突破 考点一 不含参函数的单调性 1. （2021安徽合肥一模）函数 <m></m> 的单调递减区间为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C [解析] 函数的定义域是 <m></m> , <m></m> ,令 <m></m> ,解得 <m></m> ,故函数在 <m></m> 上单调递减,故选C. 2. 多选题 下列选项中，在 <m></m> 上是增函数的有 ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> BD [解析] A选项，由 <m></m> 得 <m></m> ，当 <m></m> 时， <m></m> ，则 <m></m> 单调递增；当 <m></m> 时， <m></m> ，则 <m></m> 单调递减，故A不满足题 意.B选项，由 <m></m> 得 <m></m> ，显然 <m></m> 不恒为零，所 以 <m></m> 在 <m></m> 上单调递增，故B满足题意.C选项，由 <m></m> 得 <m></m> ，当 <m></m> 时， <m></m> ，则 <m></m> 单调递增；当 <m></m> 时， <m>