2024届高考数学一轮复习第三章《一元函数的导数及其应用》第一节 导数的概念及其运算

第三章 一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念及其运算 必备知识·整合 关键能力·突破 课标要求 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义，求函数 <m></m> （ <m></m> 为常数）， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 5.能求简单的复合函数（形如 <m></m> ）的导数. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.函数 <m></m> 从 <m></m> 到 <m></m> 的平均变化率 函数 <m></m> 从 <m></m> 到 <m></m> 的平均变化率可表示为 <m></m> ， 若 <m></m> ， <m></m> ，则平均变化率可表示为 <m></m> . 2.函数 <m></m> 在 <m></m> 处的导数 （1）定义 称函数 <m></m> 在 <m></m> 处的瞬时变化率 <m></m> 为函数 <m></m> 在 <m></m> 处的导数，记作 <m></m> 或 <m></m> ，即 <m></m> . （2）几何意义 函数 <m></m> 在 <m></m> 处的导数 <m></m> 的几何意义是曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处 的____________. 相应地，切线方程为 <m></m> . 切线的斜率 3.函数 <m></m> 的导函数 称函数 <m></m> 为 <m></m> 的导函数，导函数有时也记作 <m></m> . 4.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 5.导数的运算法则 （1） <m></m> ； （2） <m></m> _____________________； （3） <m></m> . <m></m> 6.复合函数的定义及其导数 （1）一般地，对于两个函数 <m></m> 和 <m></m> ，如果通过中间变量 <m></m> ， <m></m> 可以 表示成 <m></m> 的函数，那么称这个函数为函数 <m></m> 与 <m></m> 的复合函数，记作 <m></m> . （2）复合函数 <m></m> 的导数和函数 <m></m> ， <m></m> 的导数间的关系为 <m></m> ，即 <m></m> 对 <m></m> 的导数等于 <m></m> 对 <m></m> 的导数与 <m></m> 对 <m></m> 的导数的乘积. 知识拓展 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 2. <m></m> . 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） <m></m> 是函数 <m></m> 在 <m></m> 附近的平均变化率.( ) × （2） <m></m> 的导数为 <m></m> .( ) × （3） 求 <m></m> 时，可先求 <m></m> ，再求 <m></m> .( ) × （4） 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) √ （5） 曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线与过点 <m></m> 的切线相同.( ) × 2. （新教材改编题）一质点运动的方程为 <m></m> ，若该质点在时间段 <m></m> 内相应的平均速度为 <m></m> ，则该质点在 <m></m> 时的瞬时速度是 ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D [解析] 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在 <m></m> 时的瞬时速度为 <m></m> . 3. （2023广东茂名二模）过坐标原点作曲线 <m></m> 的切线，则切点的纵坐标为 ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B [解析] 设切点为 <m></m> ， 由 <m></m> 得 <m></m> ， <m></m> ， ∴曲线在点 <m></m> 处的切线方程为 <m></m> ，又切线过原点 <m></m> ， <m></m> ， 解得 <m></m> ， ∴切点为 <m></m> ，其纵坐标为1. 4. （新教材改编题）曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线方程为( ) A. <m></m> B.