2024届高考数学一轮复习第二章《函数》第七节 函数的应用-第2课时 函数模型的应用

第七节 函数的应用 第2课时 函数模型的应用 必备知识·整合 关键能力·突破 课标要求 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数模型 2.三种增长型函数性质的比较 性质 函数 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 __________ __________ 相对平稳 图象的变化 值的比较 越来越快 越来越慢 <m></m> 轴 <m></m> 轴 3.解函数应用题的步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型； （3）求解：求解函数模型，得出数学结论； （4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结果. 以上过程用框图表示如图： 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 函数 <m></m> 的函数值比 <m></m> 的函数值大.( ) × （2） 不存在 <m></m> ，使 <m></m> （ <m></m> ,且 <m></m> ）.( ) × （3） 在 <m></m> 上，随着 <m></m> 的增大， <m></m> 的增长速度会超过并远远大 于 <m></m> 的增长速度.( ) √ （4） “指数爆炸”是比喻指数型函数 <m></m> （ <m></m> , <m></m> , <m></m> 为常数, <m></m> ， <m></m> 且 <m></m> ）的增长速度越来越快.( ) × 2. （新教材改编题）在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将 一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到 若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可 以用指数型函数 <m></m> （ <m></m> ， <m></m> 为常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中 <m></m> （单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量，则 <m></m> ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C [解析] 当 <m></m> 时， <m></m> ，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5 克，所以 <m></m> ，解得 <m></m> . 3. （2022辽宁大连一○三中学模拟）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空 气中冷却，如果物体的初始温度为 <m></m> ，空气温度为 <m></m> ，则 <m></m> 分钟后物体的温 度 <m></m> （单位： <m></m> ）满足： <m></m> .若常数 <m></m> ，空气温度为 <m></m> ，则某物体的温度从 <m></m> 下降到 <m></m> 大约需要的时间为（参考数据： <m></m> ）( ) A. 25分钟 B. 24分钟 C. 23分钟 D. 22分钟 D [解析] 由题意可得， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故 <m>，</m> <m></m> ， 即 <m></m> ， <m></m> （分钟）, 即大约需要的时间为22分钟. 4. 易错题 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 <m></m> ，其中 <m></m> 代表拟录用人数， <m></m> 代表面试人数， 若面试人数为160，则该公司拟录用人数为____. 75 [解析] 当 <m></m> 时，令 <m></m> ，则 <m></m> ，不符合题意；当 <m></m> 时，令 <m></m> ，则 <m></m> ，符合题意；当 <m></m> 时，令 <m></m> ，则 <m></m> ，不符合题意.故拟录用人数为75. 易错提醒 注意人数应为正整数. 关键能力·突破 考点一 已知函数模型（直接解模） 1. （2021全国甲，4,5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视 力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 <m></m> 和 小数记录法的数据 <m></m> 满足 <m></m> .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9， 则其