13.2.4平面与平面的位置关系第一课时两平面平行 课件-2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

13.2.4 平面与平面的位置关系 第一课时两平面平行 第13章 立体几何初步 新知探索 空间中平面与平面的位置关系 观察右图，在此长方体中，平面与平面的位置关系有哪一些？ D1 D A B C A1 B1 C1 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 ____________ 有 个公共点(在一条直线上) 符号表示 ______ _________ 图形表示     没有公共点 无数 α∥β α∩β＝l 问题引入 类似于研究直线与平面的判定， 自然想到要把平面与平面平行问题 转化为直线与平面平行问题. 根据平面与平面平行的定义可知， 两个平面平行等价于一个平面内 任意一条直线都与另一个平面平行. β α a 新知探索 平面与平面平行的判定定理 c d a b a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，以b为轴旋转硬纸片，那么硬纸片能保证和桌面平行吗？ c和d分别是三角尺相邻两边 所在直线，它们都和桌面平行，动手试试看，三角尺和桌面 平行吗？   P b a 如果一个平面内的两条相交直线 与另一个平面平行，那么这两个平面平行. a⊂β b⊂β a∥α b∥α ⇒β∥α a∩b＝P 要证面面平行，需证线面平行. 典例精析 题型一：平面与平面平行的证明 例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 证明　∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD， 又∵AB∥CD， ∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 例2 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点.求证：平面MNQ∥平面PBC. 证明 ∵底面ABCD为平行四边形， 点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点， ∴N是AC的中点，∴MN∥PC， 又∵PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC， ∴MN∥平面PBC. ∵M，Q分别是PA，PD的中点， ∴MQ∥AD∥BC， 又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC. ∵MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ， MQ∩MN=M， ∴平面MNQ∥平面PBC. 新知探索 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行，那么这两个平面内的直线有什么样的位置关系？   满足什么条件能使两直线平行？   γ a b 新知探索 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个与这两个平面相交， 那么两条交线平行.   γ a b α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 证明 ∵α∩γ=a， β∩γ=b， ∴a α 且b β. 又∵α //β ， ∴a与b没有公共点. 又∵a  γ且b  γ， ∴ a//b. 可由面面平行，得到线线平行. 典例精析 题型二：平面与平面平行性质定理的应用 例3　如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b. 求证：a∥b. 证明　∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a， 平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴a∥A′D′， 又∵平面ADC′∩平面A′B′C′＝b， 平面ADC′∩平面ABC＝AD， ∴b∥AD，又AA′∥B′B∥DD′且AA′＝B′B＝DD′， ∴四边形ADD′A′是平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b. 例4 如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，线段AD分别交α，β于C，D，线段BF分别交α，β于F，E，若AM=9，MN=11，NB=15，S△FMC=78. 求△END的面积. 解 ∵平面α∥β，又平面AND∩平面α=MC， 平面AND∩平面β=ND，∴MC∥ND，同理EN∥FM， 又AM=9，MN=11，NB=15， ∴，. 又∠FMC=∠END， ∴， ∵S△FMC=78，∴S△END=100. 例5 证明：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 那么它也垂直于另一个平面. 已知：α∥β，l⊥α. 求证：l⊥β. 证明：设l∩α=A，在β内任取一条直线b， ∵A∉β，∴点A和直线b可确定平面γ， 设α∩γ=a， ∵ α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，∴a∥b. 又∵l⊥α，∴l⊥a，∴l⊥b ∵b是平面β内任意一条直线， ∴ l⊥β.